Una definición alternativa de la creación y aniquilación de los operadores?

Question

Supongamos que tenemos un sistema de bosones representados por sus números de ocupación $$\tag{1} | n_1, n_2, ..., n_\alpha, ... \rangle$$ Entonces podemos definir a la creación y aniquilación de los operadores $$\tag{2} a_\alpha^\dagger| n_1, n_2, ..., n_\alpha, ... \rangle = \sqrt{n_\alpha+1} | n_1, n_2, ..., n_\alpha+1, ... \rangle$$ $$\tag{3} a_\alpha| n_1, n_2, ..., n_\alpha, ... \rangle = \sqrt{n_\alpha} | n_1, n_2, ..., n_\alpha-1, ... \rangle$$ Esto es bueno porque el operador número es sólo $a_\alpha^\dagger a_\alpha$. Sin embargo, sería conveniente definir un conjunto alternativo de operadores para trabajar con? $$\tag{4} b_\alpha| n_1, n_2, ..., n_\alpha, ... \rangle = | n_1, n_2, ..., n_\alpha+1, ... \rangle$$ $$\etiqueta{5} c_\alpha| n_1, n_2, ..., n_\alpha, ... \rangle = \begin{cases} | n_1, n_2, ..., n_\alpha-1, ... \rangle & n_\alpha>0 \\ 0 & n_\alpha=0 \end{casos}$$ $$\etiqueta{6} N_\alpha| n_1, n_2, ..., n_\alpha, ... \rangle = n_\alpha| n_1, n_2, ..., n_\alpha, ... \rangle $$ ¿Por qué no trabajar con estos operadores? El bosonic los operadores de creación y aniquilación $a_\alpha^\dagger$ $a_\alpha$ fueron definidos para imitar el oscilador armónico de subida y bajada de los operadores ($x \pm i p$), pero ¿hay alguna razón de peso para mantener el $\sqrt{n_\alpha+1}$ $\sqrt{n_\alpha}$ factores?

Supongo que $a_\alpha^\dagger$ $a_\alpha$ obedecer agradable propiedades tales como $[a_\alpha,a_\alpha^\dagger]=1$ y el hecho de que son Hermitian adjoints de cada uno de los otros. ¿Cuáles son análogas a las relaciones que $b_\alpha$ $c_\alpha$ le obedecen?

Answer 1

Aquí hay tres propiedades que harán que tu definiciones torpe.

Usted puede pensar de $a^\dagger\,a$ la LU (inferior triangular, triangular superior o Cholesky) la descomposición del número observable. En realidad, no es la única factorización Cholesky, pero es la que se encuentra por el exterior del producto versión del algoritmo. Su definición no tienen esta propiedad.

Como resultado, la Mentira de soporte entre sus dos $b,\,c$ operadores iba a ser un poco desagradable. En energía eigen coordenadas (es decir, para que un quantum osciladores armónicos estado está dada por un infinito vector columna de las amplitudes de probabilidad de estar en cada uno de los número de estados) sería:

$$[b,\,c]={\rm diag}[1,\,0,\,0,\,\cdots]$$

y el Hamiltoniano sería complicateder:

$$\hat{H} = \hbar\,\omega\left(c\,b\,N + \frac{1}{2}\right) = \hbar\,\omega\left(N\,c\,b + \frac{1}{2}\right)$$

y no hay ninguna manera sencilla de escribir el Hamiltoniano en términos de $b\,c ={\rm diag}[0,\,1,\,1,\,1,\,\cdots]$.

Todo esto haría que la reescritura de operador y expresiones observables en la normal de ordenar muy torpe, de hecho.

Por último, hay una manera elegante de la escritura de la general coherente estado del oscilador armónico cuántico, a través de la denominada desplazamiento del operador:

$$\left|\left.\alpha\right>\right. = \exp\left(\alpha\,a^\dagger - \alpha^* \, a\right)\left|\left.0\right>\right.$$

que desplaza la cuántica, el estado del suelo a una estrategia coherente de uno con la amplitud (es decir, el desplazamiento desde el origen en $x-p$ el espacio de fase) $\alpha$. Esto es muy útil fórmula sería mucho awkwarder en su notación.

Answer 2

El problema es que los estados físicos positivos números de ocupación $n_1, n_2,...$.

Con sus operadores, que tienen, por ejemplo :

$ c_\alpha| n_1, n_2, ..., 0, ... \rangle = | n_1, n_2, ..., -1, ... \rangle$.

Esto le da una totalmente no físico, por lo que habría que añadir a mano restricciones como $n_1 \geq 0, n_2 \geq 0,...$, .

Con los operadores de $a_{\alpha}$, no tiene este problema, la no-existencia de los estados negativos de la ocupación de los números es completamente natural, ya que el término $\sqrt{n_\alpha}$