Mostrando que $P_r(x)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos x+r^2}\rightarrow 0$ uniformemente en $[-\pi,-\delta]\cup[\delta,\pi]$ $r\uparrow 1$

Question

Deje $0<r<1$ y considerar la serie de $$s = \sum_{n=-\infty}^\infty r^{|n|}e^{inx}.$$

He demostrado que la serie converge a uniformely $$P_r(x)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos x+r^2}$$ on all of $\mathbb{R}$. Ahora me pide que...

Indican que por cada $0<\delta<\pi$, $P_r(x)\rightarrow 0$ uniformely en los intervalos de $[-\pi,-\delta,]\cup[\delta,\pi]$$r\uparrow 1$.

Ahora, en primer lugar no estoy totalmente seguro de lo que esto significa: para poder hablar De una convergencia uniforme, no tenemos necesidad de una secuencia de funciones? Debo construir una secuencia de trabajar, por ejemplo,$\{P_{1-\frac{1}{n}}(x)\}_n$? Si es así, ¿el problema ahora sería: Dado $\epsilon>0$, encontramos a $N\in\mathbb{N}$ que si $n\ge N$ $|P_{1-\frac{1}{n}}(x)-0|<\epsilon$ sobre todo $[-\pi,-\delta]\cup[\delta,\pi]$?

Answer 1

Uno no necesita una secuencia de funciones para discutir la convergencia uniforme. El concepto se aplica a variables continuas. Aquí, hay dos variables, $x$$r$. Si $x=0$, a continuación, tenga en cuenta que $P(r,x=0)=\frac{1+r}{1-r}$, que no está definido por $r=1$. Si $x\ne 0$, entonces claramente $P(r,x \ne 0) \to 0$$r \to 1$.

Así, cuando se esta convergencia uniforme? Para demostrar la convergencia uniforme en un conjunto, dado $\epsilon >0$, uno tiene que encontrar una $\eta > 0$ independiente en $x$, de tal manera que $|P-1|<\epsilon$ siempre $|r-1|< \eta$ todos los $x$ es un conjunto. (Nota, se utilizó $\eta$ aquí para evitar la confusión con el $\delta$ especificado en el enunciado del problema.)

Ahora, podemos escribir

$$\left|\frac{1-r^2}{1-2r\cos x +r^2}\right|=\left|\frac{1-r^2}{(1-r)^2+4r\sin^2(x/2)}\right|\le \left|\frac{(r+1)(r-1)}{4r\sin^2(x/2)}\right|=\frac{r+1}{4r}\frac{\left|(r-1)\right|}{\sin^2(x/2)}$$

Tenga en cuenta que siempre $\pi\le |x|>\delta$, luego

$$1 \ge \sin^2(x/2)>\sin^2(\delta /2)$$

Para completar la prueba, primero tome $0<\eta<1/2$. Entonces, ciertamente,$(r+1)/4r < 3/4$.

Por lo tanto, dado $\epsilon >0$,

$$\left| \frac{1-r^2}{1-2r\cos x +r^2} \right| \le \frac34 \frac{\left|r-1\right|}{\sin^2(\delta/2)}<\epsilon$$

siempre que $|r-1|< \eta =\min (1/2, 4\epsilon \sin^2(\delta/2)/3 )$.

Answer 2

Para la primera pregunta, hemos $$s=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}r^{|n|}e^{inx} =1+\sum_{n=1}^{+\infty}r^ne^{inx}+\sum_{n=1}^{+\infty}r^ne^{-inx} =1+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(re^{ix}\right)^n+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(re^{ix}\right)^n$$ $$=1+\frac{re^{ix}}{1-re^{ix}}+\frac{re^{ix}}{1-re^{ix}} =1+\frac{2r\cos\left(x\right)-2r^2}{1-2r\cos\left(x\right)+r^2} =\frac{1-r^2}{1-2r\cos\left(x\right)+r^2}=P_r\left(x\right)$$ y la convergencia es uniforme para todos los $0<r<1$.

La segunda cuestión ha sido discutida por John, Thibaut Dumont y el Dr. MV.