Si $[x+0.19] +[x+0.20] +[x+0.21] +\cdots [x+0.91] =546$ encontrar el valor de $[100x]$..

Question

Problema :

Si $[x+0.19] +[x+0.20] +[x+0.21] +\cdots [x+0.91] =546$ encontrar el valor de $[100x]$ donde [.] representa el mayor entero función de menos de igual a x.

Mi planteamiento :

$x +1.19 = x + \frac{19}{100} = \frac{100x+19}{100}$

Del mismo modo otros términos

No conseguir alguna pista, por favor sugieren será de gran ayuda. gracias.

Answer 1

En primer lugar observamos que el número de términos es $73$. También, si nos fijamos en $[x+a]$ donde $a$ rangos de$0.19$$0.91$, entonces podemos ver que sólo se puede alcanzar de dos valores; las se $n=[x+0.19]$ y, posiblemente, pero no necesariamente, $n+1$. Sabemos que a pesar de que $$73n\leq [x+0.19]+[x+0.20]+\cdots+[x+0.91]<73(n+1)$$ and so we deduce $n=7$. We can also find exactly where the value of $[x+y]$ changes from $n$ to $n+el 1$ - since, $546-73\cdot 7=35$, so there are $35$ terms $[x+a]=n+1$, so the last $$ such that $[x+y]=n$ is $a=0.56$. So, $[x+0.56]=7$ but $[x+0.57]=8$. This means that $7.43\leq x<7.44$. So, $743\leq 100x<744$, so $[100]=743$.

Espero que esto ayudó!

Answer 2

Para que una idea tenga en cuenta que la ecuación original es la suma de 73 términos. El primero y el último término difieren en la mayoría de las $1$, por lo que la suma es el total de una serie de términos en el valor más bajo y un número de elementos en el valor más alto. Usted debe ser capaz de averiguar a cuántos de cada uno, y este le dirá que el valor de pasos por $1$. Esto a su vez te dan la información a los obligados $x$ lo suficiente para responder a la pregunta.

Answer 3

Hay 91-18=73 términos. Y 73*7=511 < 546 < 73*8. Así que tal vez x debe estar entre 7 y 8.

¿Cómo se puede controlar el número de 7s y 8s?

Answer 4

Hay una manera de resolver este ( para x positivo ) por primera observación de que su suma es la diferencia de dos cantidades de la misma forma :

$$S_n=\sum_{k=0}^{n}\lfloor x+ak\rfloor$$

Empecemos por definir $x_0=\lfloor x\rfloor$$f!=x-x_0$, por lo que tenemos la parte entera y la parte fraccionaria de $x$ a mano.

Ahora podemos ver que :

$$|x+ak|=x_0+\lfloor f+ak \rfloor$$

Supongamos $an < 1$ por conveniencia ( como basta en este problema ).

Hay algunos $k_0$ donde $f+ak >= 1$ que contribuye $+1$ a la suma y que los demás valores no aportan nada. Esta $k_0$ está dada por :

$$k_0=\left\lceil \frac{1-f}{a} \right\rceil$$

Y podemos escribir la suma de $S_n$ fácilmente :

$$S_n = nx_0 + ( n+1-k_0)$$

al $n >= k_0$ y

$$S_n = nx_0$$

al $n < k_0$

Y ahora tenemos una manera de resolver el problema a mano.

Podemos ver que, para $a=0.01$ $S_{91}-S_{18}=(91-18)(x_0+1)=546$ que no es el caso como $73$ no es un factor de $546$ o de :

$$S_{91}-S_{18}=x_0(91-18)+(91-18)-k_0+1=546$$

Obtenemos :

$$545=73(x_0+1)-k_0$$

Tomando el módulo de 73 obtenemos :

$$k_0\,mod\,73 =73-( 545\, mod\, 73 )=39$$

Y como este es el único valor posible en el rango de $18$ $91$podemos decir $k_0=39$.

El uso de este obtenemos $f=1-ak_0=1-(0.01)(39)=0.61$ y el uso de este en nuestra fórmula para la suma, podemos obtener :

$$546=73(x_0+1)-k_0+1=73(x_0+1)-38$$

Así que, finalmente :

$$x_0=\frac{546+38}{73}=8$$

Un so $x=(8-1)+0.61=7.61$ y el resultado final para $\lfloor 100x\rfloor=761$