"La definición de la cruz producto también puede ser representado por el el determinante de una formales de la matriz." —Wikipedia
Esto parece un hack para mí—algo de gran uso práctico, pero no matemáticamente exacta. A menos que me equivoco,
- Sólo funciona para los vectores en un espacio de 3 dimensiones
- Una matriz con una mezcla de escalares y vectores no es estrictamente legal
De nuevo, la Wikipedia dice:
"Las Matrices pueden ser considerados con mucho más general de los tipos de entradas que real o números complejos. Como un primer paso de generalización, de cualquier de campo, es decir, un conjunto donde la suma, la resta, la multiplicación y la la división de operaciones se definen y se portan bien, puede ser utilizado en lugar de de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, por ejemplo los números racionales o finito campos."
Hay campos puede consistir en una mezcla de vectores y escalares? Hay una forma más genérica de vector de la cruz de los productos que demuestran por qué el determinante de la solución para el 3-espacio tiene valor pragmático? Es esta, de hecho, un hack?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que la mejor manera de responder a su pregunta es, es una tecla de acceso.
Esta tecla le permite conseguir sus manos en una colección de objetos matemáticos llamados "formas exteriores". Desde esta perspectiva, no es un "hack" pero a explicar exactamente lo que es, esencialmente, requiere discutir doble de los espacios y las cosas no apropiadas para el estándar de cálculo multivariable clases. [Edit: La Mathoverflow post citado en el comentario de arriba es una gran discusión sobre cómo se puede tratar de dar a este un formal de igualdad.]
He aquí una manera de ver ¿por qué/cómo el producto cruzado de las obras. Vamos $e_1=\langle 1,0,\dots,0 \rangle$, $e_2=\langle 0,1,\dots,0 \rangle$, $\dots$, $e_n = \langle 0,\dots,0,1\rangle$ [así, en $\mathbb{R}^3$ hemos $e_1=\vec{i}$, $e_2=\vec{j}$, y $e_3=\vec{k}$.]. A continuación, considere los vectores $\vec{a}_1 =\langle a_{11},a_{12},\dots,a_{1n} \rangle$, $\vec{a}_2 =\langle a_{21},a_{22},\dots,a_{2n} \rangle$, $\dots$, $\vec{a}_{n-1} =\langle a_{(n-1)1},a_{(n-1)2},\dots,a_{(n-1)n} \rangle$. Considere la posibilidad de la $n \times n$ "matrix"
$$ A = \begin{bmatrix} e_1 & e_2 & \cdots & e_n \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{(n-1)1} & a_{(n-1)2} & \cdots & a_{(n-1)n} \end{bmatrix} $$
El determinante de a $A$ es un vector los vectores $e_1$, $e_2$, $\dots$ sólo será multiplicado por subdeterminants hecha totalmente de escalares así que nunca tendrá que preocuparse acerca de la multiplicación de los vectores). También, por la forma en que el producto escalar se define, $\mathrm{det}(A) \cdot \vec{b}$ resultados en la sustitución de $e_1$, $e_2$, etc. con los componentes de la $\vec{b}$ (esto es fácil de ver desde el cofactor de la expansión del determinante a lo largo de la primera fila). Que es...
$$ \mathrm{det}(A) \cdot \vec{b} = \mathrm{det}\left( \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{(n-1)1} & a_{(n-1)2} & \cdots & a_{(n-1)n} \end{bmatrix} \right) $$
Ahora considere la posibilidad de que un factor determinante de una matriz es cero si tiene la repetición de una fila. Así que si llegamos a este punto "cruz del producto vectorial" $\mathrm{det}(A)$ con $\vec{a}_i$, vamos a llegar a cero. Por lo tanto $\mathrm{det}(A)$ es ortogonal a $\vec{a}_1$, $\dots$, $\vec{a}_{n-1}$. Por lo tanto, tenemos un "producto cruz" de $\mathbb{R}^n$.
No es un hack. Sólo de una manera limpia para construir una función que toma en $n-1$ vectores y escupe un vector perpendicular a todas sus entradas.
Edit: Algunas personas dicen que no hay cruz el producto, excepto en $\mathbb{R}^3$. Esto es verdad en cierto sentido. Si el propósito de la cruz del producto es dar un vector perpendicular a otros dos vectores, entonces esto requiere de 2 dimensiones de las entradas de determinar un 1 dimensiones de salida, así que tenemos que estar trabajando en $2+1=3$ espacio tridimensional. Sin embargo, si usted no requieren que su "producto cruz" para ser binaria del producto, que va a trabajar en $\mathbb{R}^n$ ($n \geq 2$).
