Aquí hay otro método. Deje que φ:x↦∫+∞0dt1+tx y ψ:x↦πxsin(πx)
Se puede demostrar fácilmente que φ y ψ definidos y continua en I=]1,+∞[.
Deje que A={pq:p∈2Z,q∈2Z+1} y \mathscr^*_+=\mathscr A \cap \mathscr I. Entonces \mathscr^*_+ es un subconjunto denso de I.
Ahora vamos a p de ser un número entero y q uno raro tales que p>q>0. Tenemos :
φ(pq)=∫+∞0dt1+tpq=∫+∞0quq−11+updu=q2∫+∞−∞uq−11+updu=q2lim
Podemos escribir : \displaystyle{\frac{u^{p-1}}{1+u^p}=\sum_{k=0}^{p-1}\frac{a_k}{u-b_k}} \displaystyle{b_k=e^{i\frac{(2k+1)\pi}{p}}} y \displaystyle{a_k=\frac{-b_k^q}{p}=-\frac{e^{i\frac{(2k+1)\pi q}{p}}}{p}}
Ahora vamos a x ser un número real tal que \sin(x)\neq 0.
Entonces podemos escribir : \displaystyle{\frac{1}{u-e^{ix}}=\frac{u-\cos(x)+i\sin(x)}{u2-2u\cos(x)+1}}
Ahora si t>0, se obtiene :
\displaystyle{\int_{-t}^t\frac{u-\cos(x)}{u2-2u\cos(x)+1}du=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{t2-2t\cos(x)+1}{t2+2t\cos(x)+1}\right)} y esta integral tiende a 0 como t tiende a +\infty.
Tenemos así : \displaystyle{\int_{-t}^t\frac{\sin(x)}{u2-2u\cos(x)+1}du=\mathrm{Arctan}\left(\frac{t+\cos(x)}{\sin(x)}\right)-\mathrm{Arctan}\left(\frac{-t+\cos(x)}{\sin(x)}\right)} y esta integral tiende a \pi si \sin(x)>0 y -\pi si \sin(x)<0 (cuando t tiende a +\infty).
Así, obtenemos : \lim_{t\to +\infty} \int_{-t}^t \dfrac{du}{u-e^{ix}}=\left\{\begin{array}{lr} i\pi & \text{si}\ \sin(x)>0\\ -i\pi & \text{si}\ \sin(x)<0\end{array}\right.
Ahora vamos a volver a nuestra pequeña integral :
\dfrac q2 \lim_{t\to +\infty}\int_{-t}^t \dfrac{u^{p-1}}{1+u^p} du=i\pi\dfrac q2\left(\sum_{k=0}^{\frac p2-1}a_k-\sum_{k=\frac p2}^{p-1} a_k\right)=-q\pi\mathrm{Im}\left(\sum_{k=0}^{\frac p2-1} a_k\right) \ (\text{porque}\ a_k=\overline{a_{p-1-k}})
Pero esta última suma es sólo una simple suma geométrica :
\sum_{k=0}^{\frac p2-1} a_k=-\dfrac 1p e^{i\pi\frac qp}\frac{1-e^{i\pi p}}{1-e^{2\pi\frac qp}}=-\frac{i}{p\sin\left(\pi\frac qp\right)}
Y finalmente obtenemos :
\varphi\left(\frac pq\right)=-q\pi\left(-\frac1{p\sin\left(\pi\frac qp\right)}\right)=\frac{\dfrac{\pi}{\frac pq}}{\sin\left(\dfrac{\pi}{\frac pq}\right)}=\psi\left(\frac pq\right)
\varphi y \psi son continuos y están de acuerdo en el subconjunto denso de \mathscr^*_+ de \mathscr I. Por lo tanto son iguales.