Podemos utilizar la inducción matemática cuando inducción de la base es " demasiado amplia?

Question

Imagínate que yo quería usar el principio de inducción para probar que una cierta proposición fue cierto para la diagonal de las matrices. La inducción se realiza en la dimensión de la matriz.

Así, la inducción de la base es de $n=1$. Sin embargo, en esta base, no hay ninguna diferencia entre una matriz diagonal y un no-diagonal de la matriz. Así que, ¿cómo podemos estar seguros de que la razón es la de la derecha es debido a ser una matriz diagonal, y no porque no la diagonal de la matriz. No la se $n=2$?

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Para $n=1$, resultado de la diagonal de las matrices es el mismo que el resultado arbitrarias de matrices; una diferencia entre las dos situaciones que se muestra sólo cuando se $n\geq2$. Así, si se inicia la inducción en $n=1$, la diferencia se mostrará sólo en la inducción de paso, no en la base de la inducción. Es decir, si el resultado es correcto sólo para la diagonal de las matrices y no para todas las matrices, entonces usted tendrá que asumir "diagonal" en la inducción de paso, aunque no importa en la base.

Answer 2

El principio de inducción que está intentando utilizar es:

Supongamos que $P(1)$ es verdad y que si $P(n)$ es true, entonces la $P(n+1)$ es cierto. A continuación, $P(n)$ es cierto para todos los $n$.

En este caso, $P(n)$ es la declaración de

Para todos los de la diagonal de las matrices de dimensión $n$, [...algo...]

Usted está confundido acerca de mostrar que $P(1)$ es cierto, porque cada matriz de dimensión $1$ es diagonal. La buena noticia es que usted no tiene que estar preocupado acerca de esto - si usted demuestra que la afirmación es verdadera para todos los $1\times 1$ matrices, entonces usted ha demostrado ser $P(1)$.

Le preocupa que:

Así que, ¿cómo podemos estar seguros de que la razón es la de la derecha es debido a ser una matriz diagonal, y no porque no la diagonal de la matriz

Pero usted no necesita preocuparse acerca de esto. El principio de inducción no dice nada acerca de la razón por la que algo es verdadero.

En su caso, resulta que todos los $1\times 1$ matrices tienen su propiedad, pero una vez que cambie a $2\times 2$ matrices, sólo la diagonal de las matrices tienen esa propiedad. Pero hemos demostrado que si todos los $n\times n$ diagonal de las matrices tienen la propiedad, entonces todos los $(n+1)\times(n+1)$ diagonal de las matrices tienen esa propiedad. Así que usted puede conseguir en el caso de $1$ caso $2$ como sigue:

Todos los $1\times1$ matrices tienen la propiedad de $\Rightarrow$

Todos diagonal $1\times 1$ matrices tienen la propiedad (como usted sabe, esta es en realidad equivalente) $\Rightarrow$

Todos diagonal $2\times2$ matrices tienen la propiedad (mediante la inducción de la regla) $\Rightarrow$

Todos diagonal $3\times3$ matrices tienen la propiedad (mediante la inducción de la regla de nuevo) $\Rightarrow$

y así sucesivamente

Answer 3

Depende de lo que quieres demostrar.

si quieres demostrar que

$\forall n\geq n_0$ una propiedad determinada $P_n$,

usted tiene que comience por comprobar $P_{n_0}$.

luego de tomar $n\geq n_0$ tal que $P_n$ es verdad y demostrar que $P_{n+1}$ es cierto.