Definición de olvidadizo functor

Question

Hay una definición de "olvidadizo functor?" Wolfram MathWorld , se define en términos de functors algebraica de las categorías a la categoría de conjuntos, pero luego dice, "Otros olvidadizo functors...", que parece una extraña manera de "definir" algo. En cualquier caso, parece excluir decir, el functor que lleva topológicos, grupos de espacios topológicos (o grupos).

Wikipedia no contiene definición alguna, sólo un montón de ejemplos.

Es este uno de esos casos donde no necesitamos una definición estricta, solo reconocemos cuando lo vemos?

Answer 1

El tratamiento en el nLab parece probable que sea el estado de la técnica. No hay una definición generalmente aceptada, y conseguir uno, usted podría tener que generalizar a la materia-estructura de la propiedad de la perspectiva en la que cada functor puede ser visto como olvidadizo. Esto hace que functors tales como las proyecciones $\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal C$ "olvidar cosas", es decir, el $\mathcal D$ objeto de una pareja.

Si la idea de olvidar cosas no se siente natural, entonces tal vez usted quiere ser olvidadizo functors sólo para olvidar las propiedades y la estructura, pero esto incluye a todos los fieles functors.

Creo que es claro que todos los fieles functor $F:\mathcal D\to \mathcal C$ puede razonablemente ser llamado olvidadizo, ya que se olvida de la propiedad de estar en la subcategoría $F(\mathcal D)$.

No veo que hay una descripción natural de lo $F$ olvida al $F$ es meramente fieles, pero tampoco sé de ningún modo para especificar cuándo $\mathcal D$ es una categoría de $\mathcal C$-objetos con estructura, que podría describir a la mayoría de las clases naturales de olvidadizo functors, mejor que la existencia de un fiel functor $\mathcal D\to \mathcal C$. Los comentarios en esta pregunta discutir el caso de la definición de las categorías estructuradas sobre los conjuntos, aunque no de manera concluyente -, pero estoy menos convencido de que no hay ninguna existentes definición mejor que la fidelidad.

Por tanto, parece que sus opciones son "todos los functors," "fieles functors," o este.

Answer 2

Creo que llamar a un functor olvidadizo es hacer una elección de un punto de vista particular sobre la categoría de la fuente, en vez de declarar que el functor tiene algún tipo de propiedad.

Cuando usted elige a pensar en un functor $F : C \to D$ tan olvidadizo, usted está eligiendo a pensar en los objetos en $C$ como objetos en $D$ adicional de la estructura en un vago sentido. Después de todo, desde la perspectiva de la categoría abstracta de la teoría de $C$ es algunos opaco colección de objetos y morfismos, que no tienen estructura interna, excepto lo interno de la estructura que usted elija para ofrecerles, por ejemplo, mediante la elección adecuada olvidadizo functors.

(Por cierto, esta es también una respuesta a otra pregunta que uno podría preguntar acerca de la categoría de teoría, a saber, "¿cuál es el punto de si todos los objetos de la estructura de una categoría está codificada en sus morfismos?" Una respuesta es que cómo usted elige para describir los objetos de una categoría, puede ser pensado como la declaración de una intención para el estudio de una colección particular de olvidadizo functors de su categoría. Por ejemplo, la elección de describir los objetos como conjuntos con extra estructura corresponde a la declaración de una intención de estudiar un determinado olvidadizo functor a $\text{Set}$.)

"Fieles functor" no es un terrible aproximación pero permítanme señalar un ejemplo donde no se aplican: a muchos de la gente estaría feliz de decir que hay un olvidadizo functor de los esquemas de espacios topológicos, pero este functor no ser fiel. Desde mi punto de vista, sin embargo, todo lo que la gente quiere decir cuando se dice esto, es que se está declarando la intención de estudiar los sistemas de espacios topológicos con extra de la estructura (es decir, la estructura de la gavilla).