La intuición suave de los colectores

Question

Considerar las gráficas de las funciones $f_1(x) = |x|$, e $f_2(x) = x$ bajo la topología de subespacio de $\mathbb{R}^2$. Ambos de estos gráficos son lisas, colectores, solo tienes que elegir coordinar los gráficos para ser $(x, f_i(x)) \leftrightarrow x$. Por otra parte, están diffeomorphic a través del mapa de $(x, f_1(x)) \rightarrow (x, f_2(x))$. Esto parece chocar con mi intuición. Por ejemplo, la gráfica de $f_1$ tiene una esquina, por lo que "no debería" ser suave, mucho menos diffeomorphic a $f_2$, que es sólo una línea recta. Puede alguien explicar qué está pasando aquí? A la luz de estos ejemplos, ¿cómo debo visualizar suave colectores y diffeomorphisms?

Answer 1

Usted podría hacer lo mismo con el conjunto de $T=\{(x,g(x))\}$ para cualquier continua $g$. La razón de esto parece no intuitivo es que no has usado la suave estructura de $\mathbb{R}^2$ a todos en la definición de la suave estructura de $T$; usted acaba de tomar la suave estructura en $\mathbb{R}$ e "transportado" a $T$. Otra manera de decirlo: El intuitivo no la suavidad de $T$ (para, por ejemplo, $g(x)=|x|$) viene de que al mirar la forma en que $T$ está sentado en $\mathbb{R}^2$.

En abstracto, es muy muy parecido al de la siguiente situación, que puede ser más clara. Los enteros $\mathbb{Z}$ forma un grupo bajo la suma. El conjunto $T = \{17,59\} \subset \mathbb{Z}$ es no un subgrupo de $\mathbb{Z}$ bajo la suma. Es cierto que $T$ puede ser realizado en grupo por el transporte de la estructura de un 2-grupo de elementos de a $T$, pero no se espera que este grupo tiene nada que ver con $\mathbb{Z}$ como un grupo , ya que no utiliza la estructura de grupo en la $\mathbb{Z}$ a definir la estructura de grupo en la $T$.

Answer 2

Su intuición se rompe debido a la inclusión de la gráfica de $f_1$ (con la suave estructura de describir) a $\mathbb{R}^2$ no es suave. La gráfica de $f_1$, como un subconjunto de a $\mathbb{R}^2$ con su habitual suave estructura, es no un suave colector de exactamente la razón intuitiva.