Irreductible polinomios de real algebraica de los números de

Question

Supongamos $\alpha$ es un verdadero algebraica de números con la propiedad de que su polinomio irreducible sobre $\mathbb{Q}$ no es un binomio, es decir, no es de la forma $x^n-q$ algunos $n\geq 1$$q\in\mathbb{Q}$.

Verdadero o falso: $\alpha^k\not\in\mathbb{Q}$ todos los $k\geq 1$.

Ejemplo: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ha polinomio irreducible $x^4-10x^2+1$, y ninguna potencia entera de $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ es racional.

No ejemplo cuando "real" de la asunción se ha caído: $1+i$ ha polinomio irreducible $x^2-2x+2$, pero $(1+i)^4=-4\in\mathbb{Q}$.

Answer 1

Deje $\alpha$ ser un verdadero algebraica de números. De modo que existe una $k$ tal que $\alpha^k \in \mathbb Q$. Deje $t$ ser el menor número positivo tal que $\alpha^t \in \mathbb Q$. Pretendemos que

$$p(x)=x^t-\alpha^t$$

es irreducible sobre $\mathbb Q$. Supongamos que no, entonces sabemos que

$$p(x)=\prod_{i=1}^t (x-\alpha \zeta^i)$$

donde $\zeta$ $t$- de la raíz de la unidad. Ahora si $p(x)$ no es irreducible tenemos que para algunos $a_1,\dots,a_n$ que

$$\prod_{i=1}^n \alpha \zeta^{a_i}=\alpha^n \prod_{i=1}^n \zeta^{a_i} \in \mathbb Q.$$ Desde $\alpha$ es un verdadero algebraica de números, esto sólo puede suceder si

$$\beta=\prod_{i=1}^n \zeta^{a_i}$$

también es real. Desde $\beta$ $t$- de la raíz de la unidad, $\beta$ es real si, y sólo si $\beta= \pm 1$. Lo $\alpha^n \in \mathbb Q$, pero $t$ era el más pequeño tal que esto sucedió tan $p(x)$ es irreductible. Esto demuestra el contrapositivo de su declaración.