¿Existe un grupo compacto de cardinalidad contablemente infinita?

Question

Disculpa la pregunta tan simple, pero no consigo encontrar una referencia ni en un sentido ni en otro, y hace tiempo que me está molestando.

¿Existe un grupo compacto (Hausdorff, o incluso T1) (topológico) que sea infinito, pero que tenga una cardinalidad contable? Las opciones "obvias" no funcionan; por ejemplo, $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ (con la obvia topología inducida) no es compacto, y tengo la impresión de que los grupos profinitos son todos incontables (aunque puedo estar equivocado en esto). Entonces, ¿alguien tiene un ejemplo, o una referencia en el caso de que no existan tales grupos?

Answer 1

Un argumento de la categoría Baire muestra que cualquier grupo Hausdorff contable y localmente compacto debe ser discreto. Por supuesto, para ser además compacto tendría que ser finito.

Con más detalle (pido disculpas si esto es conocido/desconocido): en cualquier espacio topológico de Hausdorff localmente compacto, la intersección de una colección contable de subconjuntos abiertos densos es densa - la prueba es básicamente la que se suele enseñar para espacios métricos completos, no sé de memoria dónde encontrar el caso de LCH pero el libro de Kelley parece una primera conjetura obvia. A partir de esto se puede demostrar que cualquier espacio superior de Hausdorff localmente compacto debe contener un punto aislado (abierto y cerrado). [Como estamos en un grupo topológico, las traslaciones son homeomorfismos y por tanto cada punto está aislado, es decir, el espacio es discreto.

Answer 2

EDITAR : Tanto los argumentos de Georges como los de Yemon son mejores ya que evitan la explicación de por qué el grupo tiene que ser metrizable.

No, no hay ningún grupo compacto contablemente infinito. La razón es que dicho grupo sería metrizable y, por tanto, un espacio polaco compacto sin puntos aislados. En cualquier espacio de este tipo se puede incrustar el conjunto de Cantor, que es incontable. Esto último no es difícil de demostrar, o se puede consultar Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Theorem 6.2.

Answer 3

No, no hay ningún grupo topológico Hausdorff compacto infinito numerable.

De hecho estas un grupo $G$ tendría un invariante izquierda Haar medida $m$ con $m (G) = 1$ y todos los puntos tendrían la misma medida (ya que el grupo actúa transitoriamente en sí mismo). Pero entonces, por aditividad contable de la medida $m$, el grupo sí mismo tendría medida $m (G) = 0$ o $m (G) = \infty$ según como sus puntos todos tenían $m (p) = 0$ o $m(p) > 0$. Una contradicción en ambos casos el hecho de que $m (G) = 1$.

Answer 4

El componente de la identidad de un grupo compacto de Hausdorff es un Hausdorff normal, conectado el espacio, así que por lema de Urysohn, si tiene dos puntos es incontable. Por lo tanto un grupo contable de Hausdorff compacto es totalmente desconectado. Pero entonces es un grupo profinito, y debe ser finito, infinitos grupos profinito son innumerables.

Answer 5

¿Por qué cualquier grupo infinito numerable con topología trivial (los conjuntos abiertos sólo son el conjunto vacío y todo)?