La desaparición de los módulos para el condensado de cuerdas abiertas

Question

Considere la posibilidad de un Dp-branas. Compactify $d$ dimensiones espaciales más de un torus $T^d$. Supongamos $d\geqslant p$, y que el Dp-branas es completamente envuelto alrededor de la compactified dimensiones.

Buscar en la cadena abierta modos de final en este envuelto D-branas. Hay un cero de energía de cadena abierta en el modo asociado con cada dimensión espacial. Que corresponde a la orientación de la worldsheet campo de excitación. Si la dirección es a lo largo de un uncompactified dimensión espacial, que corresponde a quanta de brane desplazamientos a lo largo de esa dirección. Estos casos no tienen la preocupación de nosotros. Si la dirección es normal a la brane, pero se encuentra a lo largo de un compactified dimensión, que corresponde a quanta de brane desplazamientos a lo largo de esa dirección. Si es tangente a la brane, corresponde a quanta de la Wilson línea de la brane medidor de campo a lo largo de esa envuelto dirección.

Aquí está la pregunta. Supongamos que la envuelve D-branas tiene una masa total de $M$. Supongamos que hay un compactified dimensión espacial de la radio de $R$ a lo largo de la cual la brane no está envuelto, es decir,$p<d$. La brane ha de Kaluza-Klein momenta lo largo de esa dirección de valor de $n/R$ n, donde n es integral. El espectro de energía está dado por $$\sqrt {M^2 +n^2/R^2} ~\approx~ M + \frac{n^2}{2MR^2} +\mathcal{O}(M^{-3}).$$ de Un condensado de energía cero cadenas abiertas de orientación a lo largo de esa dirección debería dar un continuo de los módulos? ¿Por qué no hay módulos de entonces, y por qué es el espectro de energía de datos discretos? O considere la posibilidad de una dirección en la que la brane está envuelto. Debemos tener una continua módulo de Wilson línea de la brane medidor de campo a lo largo de esa dimensión? Una vez más, hemos de discretización. Por qué?

De todos modos, ¿cómo puede una completamente envuelto D-branas han KK impulso? En la cadena de worldsheet imagen, hemos abierto las cadenas que terminan en las D-branas de fondo en una posición fija. A lo largo de los compactified dimensiones a lo largo de la cual la brane no está envuelto, tenemos las condiciones de contorno de Dirichlet. Tales cadenas abiertas sólo puede tener bobinado de números, pero no KK impulso. Incluso entonces, estamos tratando con un condensado de cuerdas abiertas con cero liquidación número.

Esta discretización no ocurre si la brane restos envueltos en al menos dos uncompactified dimensiones espaciales debido a la brane ahora tiene masa infinita. Si sigue sin envolver sólo a lo largo de una uncompactified dimensión espacial, hay la Mermin-Wagner teorema, es decir, que hay, no se ha fijado brane posición o Wilson línea.

PS: tal vez esta pregunta puede reformularse en términos de la BPS. Tenemos una envuelto BPS brane. Pero nonperturbatively, de alguna manera, el BPS estado tiene que ser transferido a lo largo de la compactified dimensión o sus Wilson línea en una superposición sobre todos los valores posibles? Abierto las cadenas con que la energía no son también BPS. Así, podemos tener cualquier condensado de ellos y aún permanecen BPS? Este claramente no es el caso con un elevado módulo, y una discretización del espectro de energía.

PPS: ¿Cómo expresar la KK modos de las D-branas, o el doble a sus Wilson líneas, en términos de un condensado de cuerdas abiertas? Suponga que tiene el estado de menor energía con cero KK impulso. Entonces, haciendo caso omiso de desplazamientos transversales a lo largo de la uncompactified dimensiones espaciales, hay una brecha de energía para el siguiente estado de energía. Sin embargo, un condensado de cuerdas abiertas con el modo interno de las excitaciones a lo largo de la compactified dimensiones ingenuamente dar ninguna brecha de energía.

PPA: Es el número de cadena abierta modos correspondientes a estos "desaparición de los módulos" incluso un bien definido por el operador? Este es, precisamente, porque en el perturbativa de nivel, de cadena abierta modos no tienen energía. Si no es un bien definidos operador, ¿cómo te incluso expresar esto en términos de cadena abierta worldsheets?

Answer 1

Por T-dualidades a lo largo de la finita de instrucciones en el que las D-branas se envuelve, su primer problema es equivalente al problema de D0-branas que se mueven en un círculo.

La masa abrir-cadena escalar correspondiente a la dirección del círculo produce el campo $X(\tau)$ viven en el mundo de la línea de la D0-branas. Y, de hecho, por supuesto, de la topología global de la configuración de un espacio para este campo $X(\tau)$ incluye el periódico de identificación de $X(\tau)\sim X(\tau)+2\pi R$. Esto es equivalente a la cuantización de la complementaria impulso, $P=N/R$.

Pero ninguno de estos dos equivalentes de los signos de la periodicidad/cuantización de la transversal ubicación/momentum es visible a nivel de todo el espectro de las cadenas abiertas. En el perturbativa de tratamiento de las D-branas dinámica, que efectivamente se expanden alrededor de una forma clásica de la "pesada" de D-branas, es decir, en torno a una solución clásica. Imagine $X(\tau)=0$. El abierto de la cadena de excitación correspondiente a la transversal de campo es un campo cuántico de una "ola" que sólo se desvía "infinitamente" de $X(\tau)=0$. El carácter cuantitativo de la escala de distancia en que $X$ se desvía es parameterically más corto que, a continuación, la cadena de escala. Así que la abrir-cadenas de saber todo sobre el potencial de las D-branas para cambiar su forma y vibrar pero un número finito de abiertos-cadena de excitaciones que todavía le deja cerca de $X(\tau)=0$, por lo que no es capaz de sondear las propiedades globales de la $X$ espacio de configuración. Para alcanzar el punto de $X=2\pi R$, se necesitaría un número infinito de cadenas abiertas – el número de escala, como los de $1/g$ o algo así – y la expansión perturbativa vendría abajo o serían insuficientes en ese punto porque es una expansión de alrededor del punto $g=0$, punto en el que el número requerido de cuerdas abiertas es estrictamente infinito.

Así en el líder de la orden, el abierto de la cadena de cálculos serán totalmente insensible a las propiedades globales de las D-branas espacio de configuración. Esto también se refleja en su $n^2/2MR^2$ cinética plazo a partir de la D-branas. Debido a $M\sim 1/g$, esta energía cinética de las escalas como $g$ y se desvanece en el $n=0$ límite. Pero sí, una vez que usted vaya a la subleading orden en $g_s$ cuando se trata de calcular la energía o de la evolución, usted será capaz de ver que el campo en el D0-branas es periódica y el coeficiente de esta $1/2M$-como la cinética término es un cuantificada $n^2/R^2$.

De forma análoga, se puede solucionar el otro problema universal de la Wilson línea que es el T-dual de la D0-branas de arriba a cabo a lo largo de la $X$ eje. Usted obtener D1-branas con un Wilson línea que reproduce exactamente el papel de el periódico de $X$ para el D0-branas. El doble de la cantidad a este periódico Wilson línea es el flujo eléctrico, $\int d \tilde X\,F_{01}$, a lo largo de la D-cadena, la cual es cuantificada tanto como el impulso de la D0-branas son de doble descripciones de cada uno de los otros. De nuevo, el abierto de la cadena de excitaciones sólo producen "variaciones infinitesimales" (o Planckian, substringy variaciones) de la Wilson línea que son demasiado pequeños para ver la periodicidad de los Wilson de la línea o de la cuantización de la complementaria flujo eléctrico.

Es útil, al menos para mí, mirar este problema a través de la teoría de la Matriz que recoge un bajo límite de energía de las D-branas dinámica. De hecho, para D0-branes en un círculo, uno también puede describir la situación por D1-branes en el doble círculo. El modelo matrix, matriz de la teoría de cuerdas, automáticamente le dará el derecho teoría de gauge con el derecho a la periodicidad de las condiciones de Wilson y de la línea de cuantización para el flujo eléctrico. Usted puede preguntar cómo se deriva que la teoría de gauge tiene el derecho de identificaciones de la configuración del espacio. Uno puede ser más o menos riguroso, pero está claro que tiene que tener este tipo de identificación. Esta identificación se reduce al hecho de que, por ejemplo, el D0-branas en lugares $X$ $X+2\pi R$ es realmente el mismo estado es el mismo estado de la perturbativa de la teoría de cuerdas punto de vista porque el D0-brane lugares definir dos totalmente idénticos (es decir uno) condiciones de frontera para el mundo de la hoja, el mismo límite de la CFT. El espacio de configuración de D-branes es el espacio de diferentes condiciones de contorno y debido a $X$ $X+2\pi R w$ dar las mismas condiciones de contorno, que se hayan identificado.