Cómo hacer funciones de base de trabajo?

Question

Esperemos que esto no es demasiado amplio de una pregunta.

Recientemente he tenido me explicó que la transformada de Fourier discreta fue realmente un cambio en la base (de ahí el "producto escalar" el aspecto de la sigma con el multiplican en ella), utilizando el seno y el coseno funciones como las funciones de base.

Entiendo utilizando el producto escalar en contra de los nuevos vectores de la base para cambiar los puntos de un espacio a otro, pero no tengo idea de cómo funcionaría como base para la que fue una función en lugar de una constante.

¿Alguien puede explicar la intuición de cómo funciona eso? Yo también he sido incapaz de encontrar los términos correctos para la búsqueda en línea, así que estoy un poco perdido allí.

Gracias!

Answer 1

En primer lugar, debemos ser precisos acerca de lo que el espacio de las funciones de lo que estamos hablando. Una opción donde tu pregunta tiene sentido es $L^2([-\pi,\pi])$, lo que significa que las funciones de $f:[-\pi,\pi]\to\mathbb C$ satisfactorio $$\int_{-\pi}^\pi|f(x)|^2dx<\infty.$$ (También hay problemas de medición en la especificación de estas funciones, pero vamos a ignorar que la complicación; véase Stein Análisis Real.) Ahora podemos abordar su pregunta acerca de cómo tomar el producto escalar de dos funciones. En este contexto hemos de llamar a un interno del producto y por escrito de $$(f,g)_{L^2}=\int_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}dx.$$ (Note el paralelo entre este y el finito-dimensional Euclideano producto escalar.)

Desde aquí se puede demostrar que las funciones $\{e^{inx}\}_{n\in\mathbb Z}$ (estos son los senos y cosenos se le preguntó acerca de) son ortonormales (vea las páginas 200-201 en Stein) (tenga en cuenta que necesita una topología a hablar de una base en este contexto, el cual es determinado por la métrica que viene de la anterior interna del producto).

Ahora, como usted sabe de lo finito-dimensional caso, se puede escribir una función en una base tomando el producto escalar: para $n\in\mathbb Z$, $$\hat f(n)=(f,e^{inx})_{L^2}=\int_{-\pi}^\pi e^{-inx}f(x)dx.$$ Por lo $\hat f(n)$ es sólo el $n$th coeficiente de Fourier, o la transformada de Fourier evaluados en $n$! Esto sugiere que la transformada de Fourier es un isomorfismo entre el $L^2([-\pi,\pi])$ e las $\ell^2(\mathbb Z)$, en donde este último se define como el espacio de la plaza-summable secuencias (usted probablemente puede adivinar cómo su producto interior está definido).

Ps. Si usted está buscando para los términos de búsqueda, "el espacio de Hilbert" se refiere a espacios vectoriales (a menudo de funciones) que tienen un "producto escalar" que se comportan como la distancia Euclídea uno bastante que usted puede utilizar para hacer el cálculo.

Bis ps. Me di cuenta demasiado tarde de que usted está preguntando acerca de la discreta de Fourier, pero espero que esto, no obstante, es útil.

Answer 2

para una base que era una función en lugar de una constante

A ver, no hay realmente una dicotomía entre funciones y constantes. Una función es simplemente una constante de un tipo diferente de un número o de una tupla. Lo que no constante de los valores de la función, es decir, los resultados de la evaluación de una función de un argumento. Por desgracia, la notación de muchas personas utilizan oculta esta distinción. Para dejarlo claro: vamos a $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función. Entonces

• $f(x)$ es no una función. Es sólo una expresión que depende de la variable libre $x$. Por lo tanto no es constante, y, de hecho, no tiene sentido considerar como un elemento de un espacio vectorial.
  Mucha gente le dirá que $f(x)$ es una función. Están equivocados.
• La función es $f$, cuando no se aplican a cualquier argumento. Si usted tiene una definición apropiada, como $$ \forall x .\ f(x) = \frac1{1+x^2} $$ (tenga en cuenta que el universal quantor $\forall$ – que generalmente no se escribe pero se supone implícitamente – hace $x$ es un obligado variable), a continuación, $f$ como un todo es una perfectamente buena función constante, igual a $5$ o $\sqrt{2}$ o $b$ son perfectamente buen número de constantes (si previamente se ha definido como $b = 17$).

Como cuestión de hecho, usted podría considerar la posibilidad de vectores $v\in\mathbb{R}^3$ también como funciones: $$ v : \{0,1,2\} \to \mathbb{R} $$ o, con menos precisión, $$ v : \mathbb{N} \to \mathbb{R}. $$ Esto significa, $v(i)$ (o, como es más comúnmente escrito, $v_i$) es un número, mientras que $v$ como un todo es un vector.

Ahora, con tal finito-dimensional vectores de un producto escalar en general será una simple suma. $$ \langle v,w\rangle_{_{\mathbb{R}^3}} = \sum_{i=0}^2 v_i\cdot w_i $$ Tal definición es igualmente posible si los vectores no son las funciones de un número natural pero real; por ejemplo, puede definir $$ \langle f,g\rangle_{_\text{Falso}} = \sum_{x\in \{1,3,\pi^2\}} f(x) \cdot g(x) $$ Sólo, que no es un producto escalar: no es positiva definida, por ejemplo si $f(x)$ ha nozero sólo valores negativos $x$ $\langle f,f\rangle_{_\text{Bogus}} = 0$ aunque $f\neq 0$.

Realmente útil escalar productos de evitar esto^† mediante la evaluación de las funciones en todas partes de su dominio. Esto no es realmente factible con sumas de dinero, pero usted puede hacerlo con integrales, como en el clásico de $L^2$ espacio de Hilbert: $$ \langle f,g\rangle_{_{L^2(\mathbb{R})}} = \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x \ f(x) \cdot g(x). $$

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^†_{Puede objetar que esto es todavía no positiva definida: si conecta una función que es cero en casi todas partes, pero, por ejemplo,$f(0)=1$, $L^2$ norma rendimientos $0$ aunque $f\neq0$. Los elementos de la $L^2$ espacio de Hilbert son, de hecho, no general de cuadrado integrable funciones, pero la equivalencia de los conjuntos de funciones tales modulo diferencias en el nulo; por lo tanto podemos decir $f=0$ si sólo es cero en casi todas partes. (Alternativamente, usted puede decir: el $L^2$ norma es una norma para todas las funciones continuas.)}

Answer 3

Consideremos el horario de verano (Discrete Seno de Transformación), que está muy cerca de la DFT (Discrete Fourier Transform) y ligeramente más sencillo de entender:

El horario de verano de la orden de $N$ está definido por una matriz que actúan sobre vectores que representan datos discretos funciones de esta manera:

$$\begin{pmatrix}\sin(1a)&\sin(2a)&\cdots&\sin(qa)&\cdots&\sin(na)\\ \sin(2a)&\sin(4a)&\cdots&\sin(2qa)&\cdots&\sin(2na)\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \sin(pa)&\sin(2pa)&\cdots&\sin(pqa)&\cdots&\sin(pna)\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \sin(na)&\sin(2na)&\cdots&\sin(nqa)&\cdots&\sin(n^2a) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}f(h)\\f(2h)\\f(ph)\\\cdots\\\cdots\\f(nh) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g(h)\\g(2h)\\g(ph)\\\cdots\\\cdots\\g(nh) \end{pmatrix}$$

con $a=\dfrac{2\pi}{n+1}$, e $h$ es el paso de discretización.

Esta matriz se transforma el discretizado función de $f$ en el discretizado función de $g$.

Genérico línea-por-la columna de producto (línea numerada $p$ por el vector columna de $f$) es:

$$\sin(pa)f(h)+\sin(2pa)f(2h)+\cdots+\sin(pqa)f(qh)+\cdots+\sin(pna)f(nh)=g(ph)$$

que se puede poner en la forma:

$$g(ph)=\sum_{q=1}^n \sin(pqa)f(qh)$$

Basta de hoy "por analogía" para reemplazar a $\sum$ signos por $\int$ signos y valores discretos por continua:

$$g(s)=\int_{t=0}^1 \sin(2\pi st)f(t)dt$$

Comentario: los "detalles" sobre el reemplazo de una gama limitada de valores por parte de un continuo que se mira más bien arbitraria. De hecho, otras opciones "por analogía" podría ser adoptadas, en particular para tratar de infinito rangos de las variables continuas. Esto sería necesario para la recuperación de la llamada clásica "continuo" sine transformar. Pero nuestro propósito aquí es sólo pedagógico.

Estas transformaciones en los métodos, que se ilustra aquí por la construcción de una continua transformación de un número finito de discretos uno, constituyen una poderosa "heurístico de la herramienta" : un método que le ayuda en el descubrimiento (y comprensión) de propiedades, relaciones, etc.

Pero, repitámoslo, trabajamos por analogía, y no más que eso.

Observación 1: se puede demostrar que las columnas de la matriz de la discreta sine transformación ortogonal y tener una norma común. Dividiendo por esta norma, uno tiene un privilegized ortonormales base, un punto que es importante en la "analógica" cambiar el espacio de Hilbert $L^2$ (mencionado por @Stan Palasek), donde tantas cosas dependen de descomposición en un ortogonales (o espacio de Hilbert).

Observación 2: yo podría haber tomado un camino diferente y considerar que ampliamos nuestra matriz a infinito ( $p,q=1,\cdots \infty$ ), con un práctico aparato matemático. Esto habría dado un diferente "mundo"; pero es mejor no mezclar cosas que no son de la misma naturaleza.

Comentario 3: Usted puede echar un vistazo a una pregunta que me han preguntado algunas veces hace acerca de la relación entre discretos y continuos "mundos" y los puentes que se pueden poner entre ellos: (Buscando ejemplos de Discreto / Continuo enfoques complementarios).

Answer 4

Así que hay algo que se llama el espacio de Schwartz. Este es un espacio vectorial sobre el que la transformada de Fourier es una forma natural de isomorfismo (automorphism, para ser más precisos). Este espacio es omnipresente en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales precisamente por esta razón.

Ahora, yo personalmente no se ven en la transformada de Fourier, ya que actúa en este espacio, como un "cambio de base", y mis razones para esto son un poco filosófico. Yo personalmente no lo mira a cualquier transformación lineal en un infinito dimensional espacio vectorial como un cambio de base, excepto en los raros casos en que tal punto de vista es beneficioso. En el contexto de las ecuaciones diferenciales parciales, no veo cómo esto es un útil punto de vista. Además, normalmente uno no escribe (normalmente no se puede escribir) una base de dicho espacio, así que ¿por qué usar esta descripción?

Ahora la transformada de Fourier discreta es un poco diferente. La transformada de Fourier discreta es una transformación lineal $F: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n$, y si usted realmente desea, puede elegir una base de $\mathbb{C}^n$ y encontrar una representación de la matriz de la misma. Encontrarás $e^{-2 \pi i k \frac{m}{n}}$, al igual que las entradas de esta matriz, y por lo tanto la expansión a cabo utilizando la fórmula de Euler obtendrás una parte del seno y del coseno. Pero esto realmente no es nada sofisticado, usted no recibirá directamente las funciones como vectores de la base (como creo que usted puede ser que piense), ya que $\mathbb{C}^n$ ni siquiera es una función de espacio. Esto no es nada diferente del estándar de álgebra lineal, de verdad.