¿Por qué delooping la clasificación de espacio topológico, el grupo G de la devolución de un espacio homotopy equivalente a G. En símbolos, ¿por qué $\Omega(BG) \cong G$ donde $G$ es un grupo topológico y $BG$ su clasificación de espacio?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Lijo
Puntos
118
Esta construcción se encuentra en Hatcher si recuerdo correctamente.
Deje $p: EG \to BG$ ser un cociente de una contracción del espacio $EG$ por una acción libre de $G$. Esto da lugar a un fibration $G \hookrightarrow EG \twoheadrightarrow BG$.
También tenemos la pathspace fibration de $BG$: Vamos a $P(BG) = \{ \gamma : I \to BG : \gamma(0) = * \}$, entonces tenemos un fibration $\pi: P(BG) \twoheadrightarrow BG$$\pi(\gamma) = \gamma(1)$. La fibra, $\pi^{-1}(*)$, es exactamente $\Omega(BG)$.
Ahora $EG$ es contráctil, así que hay un homotopy $h_t : EG \to EG$ $h_1 = id$ $h_0 = *$ (la constante mapa). Ahora defina $\Phi : EG \to P(BG)$ $\Phi(x)(t) = p(h_t(x))$ (podemos comprobar que tenemos $\Phi(x)(0) = p(h_0(x)) = p(*) = *$). Este mapa $\Phi$ se conecta en el diagrama (debido a que la órbita $G * \subset EG$ es enviado a $\Omega(BG)$$\Phi$):
$$\begin{matrix} G & \to & EG & \to & BG \\ \Phi \downarrow && \Phi \downarrow && \downarrow = \\ \Omega(BG) & \to & P(BG) & \to & BG \end{de la matriz}$$
Esto da lugar a un morfismos entre las secuencias exactas de los dos considera fibrations inducida por $\Phi$. Pero los dos espacios de $EG$ $P(BG)$ tiene todos trivial homotopy grupos, y los mapas entre la homotopy grupos de $BG$ son todas las identidades. Una aplicación de los cinco lema ahora muestra que $\Phi_* : \pi_k(G) \to \pi_k(\Omega(BG))$ es un isomorfismo para todos los $k$, y por lo tanto $\Phi : G \to \Omega(BG)$ es un débil homotopy de equivalencia.
Nota: Al $G$ es discreta, la situación es mucho más simple. En este caso, $BG$ es un Eilenberg-MacLane espacio de $K(G,1)$. Una inmediata verificación (basta con mirar en la definición) muestra también que $\pi_k(\Omega X) = \pi_{k+1}(X)$ para un espacio de $X$. Por lo $\Omega(BG)$$K(G,0)$. Es decir, es $G$.
Edit: Esto es, básicamente, la Proposición 4.66 en Hatcher Topología Algebraica, adaptado en el caso de $BG$; también hace la observación de que esto implica lo que escribí aquí.
