Si dos polinomios son iguales funciones, son necesariamente iguales como polinomios?

Question

Dicen que usted tiene un campo finito $F$ orden $p^k$. Supongamos que $f,g\in F[X_1,\dots,X_m]$, de tal manera que el grado de cada una de las $X_i$ es estrictamente menor que $p^k$$f$$g$. Me voy a poner esta condición para evitar cosas como $f=X_1X_2X_3^{p^k}$$g=X_1X_2X_3$, lo que técnicamente se define la misma función polinómica $F$ desde $X_i^{p^k}-X_i$ está en el núcleo de la evaluación homomorphism, pero no son iguales en el polinomio de anillo.

Bajo esta condición, si $f$ $g$ definir la misma función polinómica $F$, son iguales como los polinomios? Por la igualdad de funciones polinómicas, me refiero a los que son iguales como conjuntos de pares ordenados. Me siento como restringir el grado de cada indeterminado debería obligar a que esto sea así, pero, ¿cómo puede realmente ser probada?

Answer 1

La formalización de Jacob respuesta (+1) y la generalización de a $m$ variables como hizo el comentario.

Deje $F=GF(q)$ a ser el campo de $q$ elementos, y deje $P=(a_1,a_2,\ldots,a_m)\in F^m$ ser un punto arbitrario. Fijemos un índice $j$, $1\le j\le m$. El polinomio $$ f_j(x)=\prod_{un\F,\neq a_j}(x-a)=\frac{x^q-x}{x-a_j} $$ tiene las propiedades que $f_j(a_j)\neq0$, e $f_j(a)=0$ todos los $a\in F, a\neq a_j.$ por lo Tanto el producto $$ f_P(x_1,x_2,\ldots,x_m):=f_1(x_1)f_2(x_2)\cdots f_m(x_m)=\prod_{j=1}^m f_j(x_j) $$ se desvanece en todos los otros puntos de $F^m$, excepto en $P$. Además, el polinomio $f_P$ es de grado $\le q-1$ con respecto a todas las variables de $x_j,j=1,2,\ldots,m.$

Deje $V_m$ ser el espacio de polinomios en $m$ variables $F$ tal que ninguna variable aparece con el grado $\ge q$. Deje $V_m'$ ser el espacio de $F$funciones con valores en $F^m$. Hay una natural evaluación de la asignación de $ev:V_m\rightarrow V_m'$. Nuestros anteriores cálculos muestran que las funciones $ev(f_P)$, $P$ van más de los puntos de $F^m$, formar una base de $V_m'$. Por lo tanto, $ev$ es surjective. Debido a $V_m$ $V_m'$ ambos tienen dimensión $q^m$ como espacios vectoriales sobre $F$, la asignación de $ev$ también debe ser inyectiva (rango-nulidad).

Esto contesta a tu pregunta en forma afirmativa.

Answer 2

Creo que el resultado que se quiere demostrar es la siguiente. Deje $\mathbb F$ ser un campo finito de orden $q$, entonces el anillo de funciones de $\mathbb F$ $\mathbb F$es isomorfo a

$$\frac{\mathbb F[x]}{(x^q-x)}.$$

Usualmente, esto es demostrado por tomar el mapa de $\mathbb F[x]$ a el anillo de funciones y demostrando que es surjective con kernel $(x^q-x)$. Que es bastante sencillo.