En el plano euclidiano $\mathbb{R}^2$, es posible afirmar el siguiente teorema:
Teorema: Considere cualquier conjunto finito de $n$ $\{x_1,\dots,x_n\}\subset \mathbb{R}^2$ y cualquier n-ple de los números reales positivos $(r_1,\dots,r_n)$ tal que $$\cap_{i=1}^nB_{r_i}(x_i)\neq\emptyset$$ where $B_{r_i}(x_i)$ is the closed ball of center $x_i$ and radius $r_i$. Then for any other set of $n$ points $\{x_1',\dots,x_n'\}\subconjunto \mathbb{R}^2$ such that $$|x'_i-x'_j|\le|x_i-x_j|$$ for every $i,j=1,\dots,n$ it also happens $$\cap_{i=1}^nB_{r_i}(x'_i)\neq\emptyset$$
Pregunta: ¿este resultado sigue siendo cierto si tenemos en cuenta $$X:=\{x\in\mathbb{R}^2 \text{ such that } 0\le\text{arg}(x)\le 7\pi/4 \}$$ instead of $\mathbb{R}^2$? By this I mean that both $\{x_1,\dots,x_n\}$ and $\{x_1',\dots,x_n'\}$ will be in $X$ and the condition $|x'_i-x'_j|\le|x_i-x_j|$ is replaced by $d(x'_i,x_j')\le d(x_i,x_j)$ where $d$ is the induced patch metric by the euclidean metric of $\mathbb{R}^2$ on $X$. Also, the intersections are considered in $X$ and the balls are defined using $d$.
Esto no parece fácil para mí, porque la única prueba de que yo sé que por el teorema de la $\mathbb{R}^2$ no es realmente fácil (se encuentra en "Una Condición de Lipschitz la Preservación de Extensión para un Vector Función de" por san Valentín y es por $\mathbb{R}^n$) y no parece adaptarse al caso de $X$. Como usuario de Moishe Cohen señaló, que debo de croquis.
Lema 1: (por Alexandrov y de Hopf): Vamos a $A_1,\dots,A_n$ ser conjuntos cerrados en $\mathbb{R}^m$ que cubren el simplex $T$. Supongamos que para cada lado de la $a_{i_1},\dots,a_{i_\tau}$ $T$ es cierto $a_{i_1},\dots,a_{i_\tau}\subset A_{i_1}\cup\dots\cup A_{i_\tau}$. A continuación,$A_1\cap \dots\cap A_n\neq \emptyset$.
Lema 2: Deje $\Delta(x_1',\dots,x_n')$ ser la distancia euclídea simplex de vértice $x_1',\dots,x_n'$. Bajo las hipótesis del teorema $\Delta(x_1',\dots,x_n')$ es cubierto por los conjuntos de $B_{r_i}(x'_i)$
la prueba del lema: supongamos $\Delta(x_1',\dots,x_n')$ no está cubierto por los conjuntos de $B_{r_i}(x'_i)$, entonces podemos elegir $$x\in \cap_{i=1}^nB_{r_i}(x_i)\neq\emptyset,\qquad x'\in \Delta(x_1',\dots,x_n')\setminus \cup_{i=1}^nB_{r_i}(x'_i)$$ llame a $R_i$ el vector de $x$ $x_i$ $R_i'$el vector de$x'$$x_i'$. Desde $|x'_i-x'_j|\le|x_i-x_j|$ es de la siguiente manera $$ |R_i'|>|R_i|, \qquad |R_i'-R_j'|\le|R_i-R_j|$$ para cada $i,j=1,\dots,n$. Esto implica $R_i'\cdot R_j'>R_i\cdot R_j$. Deje $(a_1',\dots,a_n')\in \mathbb{R}_+^n$ tal que $\sum_{i=1}^na_i'R_i'=0$, luego de la anterior desigualdad se deduce $\sum_{i=1}^n|a_i'R_i'|^2<0$, lo cual es imposible.
prueba del teorema: desde $\cap_{i=1}^nB_{r_i}(x_i)\neq\emptyset$ es de la siguiente manera $B_{r_i}(x_i)\cap B_{r_j}(x_j)\cap \overline{x_ix_j}\neq \emptyset$ y desde $|x'_i-x'_j|\le|x_i-x_j|$ es de la siguiente manera $B_{r_i}(x'_i)\cap B_{r_j}(x'_j)\cap \overline{x'_ix'_j}\neq \emptyset$. El resultado se desprende de los dos lemas.
Como dije esta prueba es para el caso general de $\mathbb{R}^n$, $n>1$ y es bastante complicado. No sé si por $n=2$ hay uno más simple que la adaptación al caso de $X$. No puedo entender cómo adaptar este, porque no parece posible definir $\Delta(x_1',\dots,x_n')$ $X$ en el primer lugar.
