¿Por qué la convergencia débil no implica convergencia?

Question

Dejemos que $(H,\langle,\rangle)$ sea un espacio de Hilbert. Tenemos que $u_n$ converge a $u$ débilmente si $$\lim_{n\to \infty}\langle u_n,v\rangle=\langle u,v\rangle$$ para todos $v\in H$ . Pero, ¿por qué no converge con fuerza? En efecto, si $v=u_m$ Entonces, $$\lim_{n\to \infty }\langle u_n,u_m\rangle=\langle u,u_m\rangle$$ para todos $m$ y por lo tanto $$\lim_{m\to \infty }\lim_{n\to \infty }\langle u_n,u_m\rangle=\langle u,u_m\rangle\lim_{m\to \infty }\langle u,u_m\rangle=\langle u,u\rangle$$ por lo tanto, $$\lim_{n\to \infty }\langle u_n,u_n\rangle=\langle u,u\rangle\implies \lim_{n\to \infty }\|u_n\|=\|u\|$$ y por lo tanto converge débilmente. ¿Qué es lo que falla aquí?

Answer 1

Ha utilizado $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = a$$ implica $$\lim_{n \to \infty} a_{n,n} = a.$$ Sin embargo, esto no es cierto.

Considere, por ejemplo, $$a_{n,m} = \begin{cases} \pi & m < n, \\ \mathrm{e} &n < m, \\ 42 & m = n.\end{cases}$$

Editar: También es ilustrativo considerar la más famosa secuencia débilmente convergente. Sea $\{u_n\}_{n \in \mathbb N}$ sea un sistema ortonormal. Entonces, su $a_{n,m}$ satisface $$a_{n,m} = \begin{cases} 0 & m \ne n, \\ 1 &n = m.\end{cases}$$ Otra vez, $$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{n \to \infty} a_{n,n}$$ fracasa estrepitosamente.

Answer 2

Esto puede entenderse geométricamente.

Para facilitar las cosas, especifica que el punto límite sea cero: $u = 0$ . El caso general $u \neq 0$ se desprende de la traslación afín.

El conjunto $$\{ u : \langle u, v \rangle \le \epsilon \}$$ describe un semi-infinito losa contenida entre dos hiperplanos paralelos estrechamente espaciados con el vector normal $v$ . La convergencia $$\langle u_n, v \rangle \rightarrow 0$$ se produce con éxito si para cada anchura de la losa, por muy fina que sea, una cola de la secuencia está contenida en la losa. Es decir, la secuencia está asintóticamente "controlada" en el $v$ -dirección. La secuencia converge débilmente si esto se cumple para todas las direcciones posibles de la losa. Es decir,

for each direction v:
    for each width :
        A tail of the sequence is contained in the slab with 
        direction v and width .

En cambio, la secuencia converge fuertemente si cada copia escalada de la bola unitaria, $$\{ u : ||u|| \le \epsilon \},$$ por pequeño que sea, contiene una cola de la secuencia:

for each width :
    A tail of the sequence is contained within the ball of radius .

La convergencia fuerte controla la convergencia en todas las direcciones simultáneamente.

En las dimensiones infinitas se produce un problema, ya que se puede crear una secuencia infinita bien espaciada sin ir a ninguna parte, recorriendo la infinidad de dimensiones diferentes: \begin{align*} u_1 &= (1,0,0,\dots) \\ u_2 &= (0,1,0,\dots) \\ u_3 &= (0,0,1,\dots) \\ \vdots & \end{align*}

La secuencia converge débilmente ya que cada dirección está controlada finalmente pero no converge fuertemente ya que hay que esperar infinitamente a que se controle cada dirección.