Mostrar que $x^2+y^2+z^2=999$ no tiene soluciones entero

Question

La pregunta que se nos pedía para demostrar que $x^2+y^2+z^2=999$ no tiene ningún entero de soluciones.

Intento de solución:

Así que me he dado cuenta de que desde 999 es impar, ya sea una de las variables o las tres de las variables debe ser impar.

Si asumo que sólo una variable es extraño, puedo etiqueta de las variables como esto: $$x=2k_1+1$$ $$y=2k_2$$ $$z=2k_3$$

Sustituyendo, y hacer un poco de álgebra, puedo concluir que $k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_1=249.5$, lo cual no es posible ya que todos los $k_i\in\Bbb Z$.

Si los tres son impares, puedo cambiar el nombre de las variables como esto: $$x=2k_1+1$$ $$y=2k_2+1$$ $$z=2k_3+1$$ Finalmente llego a la conclusión de que $k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_1+k_2+k_3 = 249$, pero no sé a dónde ir desde allí.

Una alternativa que he considerado es fuerza bruta, pero prefiero evitar que si puedo. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Usando congruencias . . .

Extraño cuadrados son siempre $1 \pmod 8$, por lo tanto también es $1 \pmod 4$.

Incluso los cuadrados son siempre $0 \pmod 4$, por lo tanto cualquiera de las $0 \text{ or } 4 \pmod 8$.

Desde $x^2 + y^2 + z^2$ es impar, $x,y,z$ son de todos los impares, o exactamente uno de $x,y,z$ es impar.

Si $x,y,z$ son de todos los impares, a continuación,$x^2 + y^2 + z^2 \equiv 3 \pmod 8$, contradicción, ya que $999 \equiv 7 \pmod 8$.

Si exactamente uno de $x,y,z$ es impar, entonces $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 1 \pmod 4$, contradicción, ya que $999 \equiv 3 \pmod 4$.

Answer 2

Mi solución inmediata fue el mismo Jorge Fernández Hidalgo, el uso de $\bmod 8$ límites, pero llevando en su punto de fricción (y confiando en su trabajo a ese punto):

$$k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_1+k_2+k_3 = 249 \\ (k_1^2+k_1) + (k_2^2+k_2)+(k_3^2+k_3) = 249 \\ k_1(k_1+1) + k_2(k_2+1)+k_3(k_3+1) = 249 \\ $$ y tenemos tres condiciones sumar a un número impar, que por lo tanto no puede existir.

Answer 3

Esto es imposible porque el número es congruente a $-1\bmod 8$.

Aviso de que las plazas son sólo$1,4$$0\bmod 8$.

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De hecho, hay un teorema por Legendre que decir que un número no es la suma de tres cuadrados si y sólo si es de la forma $4^a(8b-1)$. (la otra dirección es el más difícil).