Montaje de $\cos(x)$ con un polinomio

Question

Considere la gráfica de $\cos(x)$ en el intervalo de $[-\pi/2,\pi/2]$. Se ve muy cerca de una parábola. Me gustaría encontrar la parábola (o, posiblemente, de la familia de parábolas) que se "ajusta" al $\cos$ función de los mejores en este intervalo.

Por "ajuste" de los mejores, me refiero a que quiero minimizar la absoluta área entre las curvas tanto como sea posible, es decir, minimizar $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\cos(x)-p_2(x)|dx,$$

donde $p_2$ es un grado $2$ polinomio.

Mi enfoque inicial fue mirar a la aproximación de Taylor acerca de la $x=0$ grado $2$

$$\cos(x)\approx1-\frac {x^2}2$$

El área entre las curvas es $2-\pi-\frac{\pi^3}{24}\approx0.15403$. Seguro que podemos hacerlo mejor.

Entonces miré en la interpolación polinomial a través de los puntos de $(-\pi/2,0),(0,1),(\pi/2,0)$, lo que le da la función de $1-\frac{4x^2}{\pi^2}$.

El área entre las dos curvas es $\frac23(\pi-3)\approx0.094395$. Mejor!

Siguiente, he intentado buscar lo que cuadrática, con vértice $(0,1)$, satisface $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(x)-p_2(x)dx=0.$$

Entonces nos encontramos con que $p_2(x)=1-\frac{12(\pi-2)}{\pi^3}x^2$.

Por lo tanto, hay área entre estas dos curvas es $0$, pero la absoluta área es de aproximadamente $0.0539276$. Comprobar numéricamente, este parece ser el que mejor se ajusten a una parábola que tiene el vértice $(0,1)$.

Es el polinomio $p(x)=1-\frac{12(\pi-2)}{\pi^3}x^2$ el único cuadrática que minimiza $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\cos(x)-p_2(x)|dx,$$ donde $p_2$ es un polinomio de grado dos?

Por supuesto, podría ser que hay un mejor ajuste polinomio que no tiene su vértice en $(0,1)$. Si no, entonces solo pido:

Encontrar un polinomio cuadrático $p_2(x)$ que minimiza $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\cos(x)-p_2(x)|dx.$$

Ahora, esto puede ser extendido a otros polinomios de grado. Por ejemplo, el mejor ajuste constante es $c=\sqrt{2}/2$, y que da $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\cos(x)-\frac{\sqrt2}2|dx=2(\sqrt2-1)\approx0.82843.$$ Esto plantea mi pregunta más general.

Deje $n\in\mathbb{N}$ y deje $p_n(x)$ $n$th grado del polinomio. Para cada una de las $n$, lo polinomio minimiza $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\cos(x)-p_n(x)|dx?$$

Answer 1

Esto NO es una respuesta completa. Permítanme ofrecer algunas observaciones que pueden ayudar a alguien a encontrar una respuesta completa.

El problema es encontrar (estoy asumiendo $b=0$ de la solución) $a$ $c$ tal que $\int_{0}^{\pi/2}|\cos(x)-(ax^{2}+c)|dx$ es mínimo. (El interruptor de $[-\pi/2,\pi/2]$ $[0,\pi/2]$es por la simetría del problema en torno a $0$).

Las condiciones de primer orden w.r.t. $a$ $c$ (por la costumbre principio de una ilusión) $$\newcommand{\sgn}{\mathop{\rm sgn}} \begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2}\sgn{(\cos(x)-(ax^{2}+c))}(-x^2)dx&=0\\ \int_{0}^{\pi/2}\sgn{(\cos(x)-(ax^{2}+c))}(-1)dx&=0\\ \end{aligned}$$

La segunda ecuación dice que las zonas donde la aproximación es por encima de la función original y a continuación tienen que ser iguales.

Mi conjetura es que esto implica que la aproximación y la función original tiene que cruzan dos veces en $[0,\pi/2]$ (si sólo una vez, a continuación, si la segunda ecuación tiene la primera no puede). Pero esto es pura especulación.

Tomando la idea de dos intersecciones en serio, denotan las intersecciones, que son las soluciones a$\cos(z)=az^2+c$$[0,\pi/2]$$x$$y>x$. Las dos primeras condiciones de su pedido, a continuación, convertirse en $$\begin{aligned} {}[-z]_{0}^{x}+[z]_{x}^{y}+[-z]_{y}^{\pi/2}&=0\\% {}[-z^3/3]_{0}^{x}+[z^3/3]_{x}^{y}+[-z^3/3]_{y}^{\pi/2}&=0\\% \end{aligned}$$ que resuelve a$y=\frac{1}{8}\pi(\sqrt5+1)$$x=\frac{1}{8}\pi(\sqrt5-1)$. Búsqueda de $a$ $c$ tal que $\cos{z}=az^2+c$ $z\in\{x,y\}$ da (gracias Mathematica) $$\begin{aligned} a&=-\frac{32\sin{(\frac{\pi}{8})}\sin{(\frac{\sqrt{5}\pi}{8})}}{\sqrt5\pi^2}\\% c&=\cos{(\tfrac{\pi}{8})}\cos{(\tfrac{\sqrt{5}\pi}{8})}\frac{3\sin{(\frac{\pi}{8})}\sin{(\frac{\sqrt{5}\pi}{8})}}{\sqrt{5}} \end{aligned}$$ que es aproximadamente de $a=-0.427001$$c=0.985095$. El área es aproximadamente (teniendo en $[-\pi/2,\pi/2]$) igual a $0.0449071$. (Esto muestra que Oleg567 arriba en los comentarios que ha hecho un trabajo increíble).

Answer 2

Algunos ejemplos de aproximaciones por parte de dichos polinomios.
Con la comparación de Taylor aproximaciones.
Aquí $t_n(x)$: grado-$n$ polinomios dado a partir del desarrollo en serie de Taylor $$ \cos(x) = 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!} x^6 + \ldots $$ Y $p_n(x)$: "mejor ajuste" polinomials encontrado empíricamente.

\begin{array}{|c|l|l|} \hline n & t_n(x) \mbox { or } p_n(x) & \epsilon & -\log_{10}(\epsilon) \\ \hline 2 & t_2(x)=1.000000 - 0.500000x^2 & 0.150335 & 0.823 \\ 2 & p_2(x)=0.985095 - 0.427001x^2 & 0.044907 & 1.348 \\ \hline 4 & t_4(x)= 1.0000000 - 0.5000000x^2 + 0.0416667x^4 & 0.0090497 & 2.043 \\ 4 & p_4(x)= 0.9996916 - 0.4969942x^2 + 0.0375584x^4 & 0.0009478 & 3.023 \\ \hline 6 & t_6(x)=1.00000000-0.50000000x^2+0.04166667x^4-0.00138889x^6 & 3.1380\times10^{-4} & 3.503 \\ 6 & p_6(x)=0.99999658-0.49994448x^2+0.04153112x^4-0.00128529x^6 & 1.0604\times10^{-5} & 4.975 \\ \hline 8 & t_8(x)=1.0000000000-0.5000000000x^2+0.0416666667x^4-0.0013888889x^6+0.0000248016x^8 & 7.0852\times10^{-6} & 5.150 \\ 8 & p_8(x)=0.9999999763-0.4999994242x^2+0.0416644880x^4-0.0013860546x^6+0.0000233125x^8 & 7.3437\times10^{-8} & 7.134 \\ \hline \end{array}