El promedio de la brecha de $\delta_n=|\gamma_{n+1}-\gamma_n|$ entre ceros consecutivos $(\beta_n+\gamma_n i,\beta_{n+1}+\gamma_{n+1}i)$ de Riemann zeta función es $\frac{2\pi}{\log\gamma_n}.$ Hay muchos papeles de dar a límites inferiores a $$ \limsup_n\ \delta_n\frac{\log\gamma_n}{2\pi} $$ incondicionalmente o en RH o GRH. (El verdadero valor que se cree ser $+\infty.$) Estoy interesado en un límite superior en la cantidad menor de $\delta_n$. Le pregunté a la pregunta sobre MathOverflow pero no han encontrado todavía una efectiva obligado. Ambos incondicional resultados y aquellos que dependen de los RH son interesantes.
Respuesta
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Hay dos cosas:
1) En RH tiene la limpia obligado $$ \delta_n \leq \pi ( 1 + o(1)) / \log\log \gamma_n $$ como $n \rightarrow \infty$, debido a Goldston y Gonek. Si el $o(1)$ molesta, se puede quitar por re-trabajar los detalles en su (corta) de papel (ver http://www.math.sjsu.edu/~goldston/article38.pdf , en particular, véase el Corolario 1).
Incondicionalmente, usted tiene el punto de sabio obligado debido a Littlewood, $$ \delta_n \leq C / \log\log\log \gamma_n $$ Yo no soy consciente de que a nadie se trabaja con el valor explícito de la constante $C$ en este caso.
2) Usted puede conseguir el mejor de los límites si usted está interesado en los límites válidos para `la mayoría" de los ceros. Por ejemplo se sabe que $$ \sum_{T \leq n \leq 2T} \delta_n^{2k} \asymp T (\log T)^{-2k} $$ Esto permite que usted tenga el mejor de los límites para la mayoría de los $\delta_n$s de que son tan buenos como $\Psi(\gamma_n) / \log \gamma_n$ $\Psi(x)$ ir hasta el infinito arbitrariamente lentamente.
