Límite algebraico de la función $\ \lim_{x\to\infty} \sqrt[5]{x^5 - 3x^4 + 17} - x$

Question

Cómo resolver este límite? $$\lim_{x \to \infty}{\sqrt[5]{x^5 - 3x^4 + 17} - x}$$

Answer 1

SUGERENCIA $\ $ Es simplemente una primera derivada: $\: $ el cambio de las variables de $\rm\ x\to 1/x\ $ rendimientos

$$\rm\displaystyle\ \lim_{x\to\ 0^{+}}\ \frac{f(x)-f(0)}x \ \ \ for\ \ \ f(x)\ =\ (17\ x^5-3\ x+1)^{1/5}$$

Ahora es muy fácil calcular el $\rm\ f\:'(0)\ =\: -3/5\:$.

Answer 2

Sugiero escribir $(x^5 - 3x^4 + 17)^{1 \over 5}$ $x(1 - {3 \over x} + {17 \over x^5})^{1 \over 5}$ y, a continuación, usar ese $(1 - \epsilon)^{1 \over n} = 1 - {\epsilon \over n} + O(\epsilon^2)$.

Answer 3

Tenga en cuenta que $$ x^5 - 3x^4 + 17 = \bigg(x - \frac{3}{5}\bigg)^5 + O(x^3 ), $$ y considerar el valor medio teorema.

EDIT: en Concreto, muestran que $$ \sqrt[5]{{\bigg(x - \frac{3}{5}\bigg)^5 + O(x^3 )}} - \sqrt[5]{{\bigg(x - \frac{3}{5}\bigg)^5 }} \a 0. $$