Demostrando la continuidad de $f$

Question

Aquí hay un problema que me encontré hace un tiempo: Supongamos $f$ está delimitado por $a\leq x\leq b$, y para cada par de valores de $x_1$$x_2$$a\leq x_1\leq x_2 \leq b$, $f(\frac{1}{2}(x_1+x_2))\leq \frac{1}{2}(f(x_1)+f(x_2))$. Demostrar que $f$ es continua para $a<x<b$.

Traté de solucionar el problema, pero realmente no pude venir con cualquier cosa...

He aquí un intento.La idea no es debido a mí, sino a un amigo;

Por la condición dada, $f(\frac{2x+2\delta}{2})\leq \frac{1}{2}(f(x+2\delta)+f(x))$,es decir,$f(x+\delta)-f(x)\leq \frac{1}{2}f(x+2\delta)-f(x)$, y de esta manera, $f(x+\delta)-f(x)\leq \frac{1}{2}f(x+2\delta)-f(x)\leq \frac{1}{2^2}(f(x+4\delta)-f(x))\leq$

$ \dots \dots \dots \dots $

$\frac{1}{2^n}(f(x+2^n\delta)-f(x))$ donde $a<x+2^n\delta<b$

Como $\delta\to 0$,$f(x+2^k\delta)\to f(x)$ para $k=1,2,\dots n$ es decir $f$ es continua en el intervalo $(a,b)$.

He intentado publicar este erróneo intento de Aops , pero nadie ha sugerido cómo acabar con la prueba de uso de lo que he usado.Voy a ser feliz si alguien pudiera sugerir algo.Gracias!

Answer 1

Funciones de la satisfacción de la desigualdad $$ f\Bigl(\frac{x_1+x_2}2\Bigr)\le\frac{f(x_1)+f(x_2)}2 $$ se llama punto medio convexo. Este es un poco más débil condición de convexidad. Continua en el punto medio de las funciones convexas son convexas. Un hermoso resultado debido a Sierpinski es que Lebesgue medibles punto medio de las funciones convexas son convexas.

Para demostrar que un delimitada punto medio convexo es continua, afirman que la contradicción. Supongamos $f$ es discontinua en a $x_0\in(a,b)$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $x_0=0$, $f(x_0)=0$.

Primer paso. Existe una secuencia $\{x_n\}\subset(a,b)$, de tal manera que $\lim_{n\to\infty}x_n=0$$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=m\ne0$. Podemos suponer que la $m>0$.

Segundo paso. La secuencia de $\{2\,x_n\}$ también converge a $0$ y $$ f(x_n)=f\Bigl(\frac{0+2\,x_n}2\Bigr)\le\frac{f(0)+f(2\,x_n)}2\implica f(2\,x_n)\ge2\,f(x_n)\implica\liminf f(2\,x_n)\ge2\,m. $$ Iteración muestra que $$ \liminf f(2^k\,x_n)\ge2^k\,m, $$ lo cual es imposible, ya que $f$ está acotada.

Usted puede encontrar esto y mucho más en este libro.

Answer 2

Más generalmente, quiero mostrar que Si $f$ es una función convexa en un intervalo abierto $I$ $f$ es continua: $f$ se dice convexo en $I$ si $\forall a,b\in I$ y cada una de las $t\in(0,1)$ si $f$ satisface $$f(tb+(1-t)a)\le tf(b)+(1-t)f(a).$$

Ahora para $a=b$, la definición no dice nada. Si $a<b$,luego $$a<tb+(1-t)a<b;$$ and conversely, for each $x\in (a,b)$ we can write $x=tb+(1-t)$ by taking $t=(x-a)/(b-a)$, so $1-t=(b-x)/(b-a)$. Así, la siguiente es una simple reformulación de la definición:

La proposición.

Supongamos que $f:I\rightarrow \mathbb{R}$, $f$ es convexa en el fib $\forall a,b$ $a<x<b$ hemos $$f(x)\le \frac{x-a}{b-a}f(b)+\frac{b-x}{b-a}f(a).$$ Y ahora tratar de demostrar esto mediante el uso de la discusión anterior:

La proposición de DOS.

Si f es una función convexa en un intervalo de $I$ $a<b<c\in I,$ $$f(x)\ge\frac{x-a}{b-a}f(b)+\frac{b-x}{b-a}f(a) \;\; \forall b<x<c$$ y $$f(x)\ge\frac{c-x}{c-b}f(b)+\frac{x-b}{c-b}f(c) \;\; \forall a<x<b.$$

Ahora el Final de Reclamación

Una función convexa en un intervalo es continua.

Prueba

Si $b\in I$ , entonces no existe$a$$c\in I$$a<b<c$. A continuación, los dos últimos de la proposición dar las desigualdades $$\frac{x-a}{b-a}f(b)+\frac{b-x}{b-a}f(a)\le f(x)\le \frac{x-b}{c-b}f(c)+\frac{c-x}{c-b}f(b)\;\; \forall b<x<c$$ a partir de la cual se deduce que $$f(b+)=f(b).$$ Del mismo modo $$\frac{c-x}{c-b}f(b)\le f(x) \le \frac{x-a}{b-a}f(b)+\frac{b-x}{b-a}f(a) \;\; \forall a<x<b$$ lo que da $$f(b-)=f(b).$$ Por lo tanto $f$ es continua en $b$,$b$ era arbitraria, por lo $f$ es continua en a $I$,en su caso $t=1/2.$