diferentes fraseos de L ' Hôpital ' regla s

Question

Tenemos tres diferentes expresiones de la regla de L'Hôpital y tiene un poco confundido acerca de las sutiles diferencias entre ellos.

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Un

Deje $-\infty \leq a < b \leq +\infty$ y deje $f,g:]a,b[ \to \mathbb{R}$ ser de dos funciones diferenciables en $]a,b[$, y deje $g'(x) \not= 0 \forall x \in ]a,b[$.

Si más de los siguientes casos se aplica

Caso 1. $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} g(x) = 0$.

Caso 2. $\lim\limits_{x \to a^+} g(x) = \pm \infty$.

y $L := \lim\limits_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe,

luego tenemos a $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L$.

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B

Deje $-\infty \leq a < b \leq +\infty$ y deje $f,g:]a,b[ \to \mathbb{R}$ ser de dos funciones diferenciables en $]a,b[$, y deje $g'(x) \not= 0 \forall x \in [a,b]$.

Si más de los siguientes casos se aplica

Caso 1. $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} g(x) = 0$.

Caso 2. $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} g(x) = \pm \infty$.

y $L := \lim\limits_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe,

luego tenemos a $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L$.

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C

Deje $a,b \in \mathbb{R}$ $a < b$ y deje $f,g:[a,b] \to \mathbb{R}$ ser de dos funciones diferenciables en $[a,b]$, y deje $g'(x) \not= 0 \forall x \in [a,b]$.

Si además la $f(a) = g(a) = 0$ $L := \lim\limits_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe,entonces tenemos $g(x) \not= 0 \forall x \in ]a,b]$$\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L$.

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A y B parecen ser casi el mismo

• Una es que carecen de la condición de $\lim f(x)$ en el caso 2 - ¿no es esto necesario?
• B requiere de $g'(x) \not= 0$ en el conjunto cerrado $[a,b]$ - ¿por qué es esto? $g$ sí no está definido aún en $[a,b]$ y en realidad no estamos trabajando en el extendido de reales por lo que lleva a problemas $g'(x) \not= 0 \forall x \in [-\infty,+\infty]$.

C es de alguna manera diferente

• Desde $a$ no le está permitido ser $-\infty$ $b$ no permite ser $+\infty$, C no incluye las mismas funciones de a y B.
• Se requiere la diferenciabilidad y $g'(x) \not= 0$ en el conjunto cerrado $[a,b]$, en contraste con a y B.
• De lo que carece el segundo caso. Tan sólo nos ayuda a nosotros, si no podemos calcular el límite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ desde $f(x)=0$$g(x)=0$.
• Estamos, además, obtener información acerca de $g(x)$ sobre la media de intervalo de abrir $]a,b]$.

Tal vez alguien pueda ayudar a explicar las sutiles diferencias y cómo el hecho de venir en cuenta.

Es más, me di cuenta de que la regla está considerando la posibilidad de $\lim\limits_{x \to a+}$ - cuando se aplica esta regla a menudo sólo nos escribe $\lim\limits_{x \to a}$. Esto es sólo el de no ser totalmente estricto?

Answer 1

Bien, parece que han entendido todo correctamente ya...

(A) es la versión dada en Rudin los Principios. Es cierto que la condición en $f$ en (B) en el caso de $g \to \pm\infty$ no es necesario, y también que me parece muy extraño para exigir algo de $g'(a)$ en (B). Yo diría que olvidarse de (B) e ir con (Una).

La información adicional acerca de la $g$ obtenida en (C) no parece tan interesante que me gustaría encontrar que vale la pena formular una regla especial para eso, pero quién sabe, tal vez sea útil a veces?

Y con respecto a $x \to a^+$: frecuencia $f/g$ está definido en un pinchazo en un intervalo de alrededor de $a$, y uno realmente quiere investigar el límite de $x \to a$. Esto se puede hacer mediante la invocación de la regla para $x \to a^+$ por separado y por $x \to a^-$ por separado (teniendo en cuenta, a continuación, algunos intervalo de $c < x < a$). Dado que tanto las investigaciones a menudo implican exactamente los mismos cálculos, uno puede simplemente hacer los dos casos y escriba "$x \to a$".