Construir una función que toma cualquier valor número de veces.

Question

Estoy en busca de una continua función $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ tal que toma cualquier valor incluso (por lo tanto finita) número de veces.

Supongo que existe en la clase de funciones Lipschitz. Todos mis enfoques han llevado a algún valor que se toma un número infinito de veces.

Answer 1

Tal función no puede ser continua, como la imagen de un compacto en una función continua es compacta. En este ejemplo, $[0, 1]$ es compacto, si bien no es $\mathbb{R}$.

Sin embargo, la existencia de tal función se puede fácilmente demostrar. De resultados básicos de cardinalidad se conoce eso bijections entre $[0, \frac{1}{2}]$ y $\mathbb{R}$ o entre $(\frac{1}{2}, 1]$ y $\mathbb{R}$ existen. Combinando estas funciones produce una función con la propiedad deseada.

Answer 2

Si usted todavía está interesado, tengo un parcial prueba de esto:

Deje $A$ el conjunto de los máximos locales de $f$ $B$ el conjunto de sus mínimos locales.

Primer caso: $f(0) \neq f(1)$:
Dado que el $]f(0);f(1)[$ es incontable, y $f(A\cup B)$, (ver aquí si usted no está convencido:enlace), puedo encontrar $a \in ]f(0);f(1)[$ verificación de $a \notin f(A\cup B)$. Dada la definición de $a$, cada vez que $f-a$ aciertos $0$, su signo de los cambios. Sin embargo, $(f-a)(0)$ $(f-a)(1)$ son de signos opuestos, por lo tanto $f-a$ aciertos $0$ un número impar de veces, por lo $f$ toma el valor de $a$ un número impar de veces.

Los casos difíciles: $f(0)=f(1)=0$:
Podemos suponer que $f(0+)$ $f(1-)$ son del mismo signo, ya que de lo contrario podemos usar el mismo argumento que en la primera parte. Así que a partir de ahora vamos a considerar el caso en que ambos son positivos.
Sub-caso 1: $A$ $B$ son finitos: Entonces, ya sabemos que $f$ es el aumento de alrededor de $0$ y la disminución de alrededor de $1$, $|A\cup B|$ es extraño, así que se puede elegir un valor de $a$ verificación de $|\{x \in A\cup B|f(x)=a\}|$ es impar. Dado que la definición, $f$ toma el valor de $a$ un número impar de veces.
Sub-caso 2: $A$ $B$ son infinitas.
No sé cómo manejar esta sub-caso. (Creo que uno tiene que utilizar el Boldano-teorema de Weierstrass en a y B, y de alguna manera el uso de la continuidad de $f$, pero yo no puedo hacer este trabajo.)