¿Por qué es la clase de Hodge de \bar{M_g} grande y nef?

Question

Que pi: \bar{M_{g, 1}} \to \bar{M_g} natural proyección de pilas Jacobianas moduli de curvas y omega la dualizante relativa. Entonces el Hodge se clase a \lambda de \bar{M_g} es la primer clase de chern de la \pi_*(ω) diferencial. Entre otras cosas la clase de hodge, junto con los divisores de límite libremente genera el grupo de Picard de \bar{M_g}.

Pregunta: ¿por qué es lambda grande y nef?

Answer 1

Algunos múltiple de la lambda se define en el espacio de móduli y este es el retroceso de un amplio paquete de \bar{A_g}, la compactación de Satake Baily Borel de A_g. Desde \bar{M_g} mapas birationally sobre su imagen en \bar{A_g}, se deduce que lambda es nef y grande, de hecho también los amplio (algunos múltiple es punto de partida libre) en el espacio de móduli.

(El mapa a \bar{A_g} contratos el divisor del límite correspondiente a irreducibles curvas nodales para que lambda no es amplia).

Answer 2

Que H ser el paquete de Hodge en \bar{M_g}, y deje D ser el límite. Cornalba y Harris (MR0974412) demuestran que aH - bD es un amplio foro un > 11b > 0. Esto significa, por ejemplo, que H 12 - D es amplia, lo que implica que 12H es grande, y así que lo mismo vale para H.

Answer 3

Para nef se puede hacer lo siguiente: tome un mapa de algún esquema de Hurwitz, \bar{Mg}. Entonces una curva de la prueba en \bar{Mg} tira a uno en el esquema de Hurwitz. Usted ahora calcular la integral de la clase de hodge sobre la retirada de esta curva de prueba utilizando la superficie miente sobre la curva de la prueba de Grothendieck-Riemann-Roch.

¿No estoy seguro de que es grande - es?