¿Cuáles son algunos ejemplos de compacto Kaehler colectores (o liso complejo de variedades proyectivas) que no son isomorfos como complejos colectores (o como variedades), pero son isomorfos como simpléctica colectores (con la estructura simpléctica inducida a partir de la Kaehler estructura)? Curvas elípticas debería ser un ejemplo, pero no puedo pensar de los demás. Estoy seguro de que debe haber un montón...
En la otra dirección, si tengo dos compacto Kaehler colectores (o liso complejo de variedades proyectivas) que son isomorfos como complejos colectores (o como variedades), luego son necesariamente isomorfo como simpléctica colectores?
Y una última pregunta que vino a la mente: Si dos liso complejo (proyectiva, si es necesario), las variedades son isomorfos como complejos colectores, entonces ellos son isomorfos como variedades?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En caso de que alguien es curioso, hay todavía ejemplos de (1) incluso si uno reemplaza el requisito de que los colectores del complejo sea nonisomorphic con el requisito que no sean incluso deformación equivalente. De hecho en arXiv:0608110 Catanese demostró que los ejemplos de Manetti de superficies de tipo general que son diffeomorphic pero no deformación equivalente son symplectomorphic (con respecto a sus formas canónicas de Kahler).
Así que aquí están algunos ejemplos: Cuando X no tiene continuo a las familias de automorfismos (H^0(X, TX)=0), el complejo de las deformaciones de la X a la primera orden está dada por H^1(X, TX). Para el compacto de Calabi-Yaus esto es H^{(n-1, 1)} y por otra parte por Bogomolov-Tian-Todorov las deformaciones son sin obstáculos.
Simpléctica deformaciones como Ben observó están controlados por H^2(X, R) por Moser truco. Si queremos deformar mientras se alojan Kahler, a continuación, en H^{(1,1)}(X, R). En la simetría de espejo (donde esta discusión es robado) permite un campo B y, en consecuencia, un complexified espacio de deformaciones H^{(1,1)}. A continuación, para el espejo de colectores de estos dos espacios de deformaciones se activan.
Esto se discute en Denis Auroux notas sobre la simetría de espejo (http://math.mit.edu/~auroux/18.969/, cualquier interpretación es mi culpa).
Simetría de espejo es genial y todo, pero si sólo nos quedamos en el mismo Calabi-Yau la deformación espacios para simpléctica y complejas estructuras que puede tener diferentes dimensiones - con uno más grande, dando ejemplos 1 y 2.
Si $M \to X$ es suave y correcta, y $M$ es K\"ahler, a continuación, las fibras son todos symplectomorphic. (Prueba: la de Levi-Civita de conexión genera symplectomorphisms.) La familia de curvas elípticas ya se ha mencionado, pero otra muy interesante, uno tiene todos los generales de fibra de ser $F_0$ y la fibra especial, $F_2$ (Hirzebruch superficies).
Un ejemplo curioso es el de la familia $\{ xy = t \}$ de hypersurfaces en ${\mathbb C}^2$ $t$ varía (lejos de $0$). Allí, las fibras son todos holomorphic, y symplectomorphic, pero no por el mismo diffeomorphism (su único cerrado geodesics son de longitud variable).
Bueno, hay estúpido ejemplos como el hecho de que $\mathbb{P}^n$ ha estructuras Kähler donde cualquier racional múltiples de la hyperplane clase es la Kähler clase que son compatibles con el estándar de estructura compleja (que acaba de cambiar la escala de la estructura simpléctica y métrica). Creo que se debe obtener ejemplos similares con multi-parámetro de familias en cosas como tóricas de variedades con mayor dimensional $H^2$.
Sé que algunos no compacta ejemplos donde se puede deformar la estructura compleja sin cambiar el simpléctica. Yo no conozco a ninguna compacto ejemplos, pero probablemente existen. La cosa es que, la única cosa que usted puede deformar sobre una estructura simpléctica en un compacto cosa es su cohomology de la clase (por la Moser truco), así que cualquier cosa con una lo suficientemente grande de la familia de Kähler métricas de trabajo.
Probablemente esto se sigue de GAGA, pero tendrías que preguntar a alguien más experto que yo para estar seguro. Edición: David de la respuesta me hizo darme cuenta de que me olvidé de decir proyectiva aquí. Eso es lo importante.
