No demostrar: El polinomio tiene ninguna raíces integradas.

Question

P. demostrar que un polinomio $f(x)$, con coeficientes enteros no tiene ninguna raíces integradas si $f(0)$ y $f(1)$ son enteros impares.

Mi intento:

Deje que

$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n$$

Ahora $f(0)=a_0$ que es un entero impar. y $f(1)=(a_0+a_1+a_2+\dots+a_n$) un entero impar.

Ahora, cuál es la estrategia que deba implica para demostrar que $f(x)$ no pueden tener raíces integradas.

Answer 1

Ya que $f(0)=a_0$ es impar es impar, que tenemos que el $f(1)=a_0+\ldots +a_n$% #% es #%. Por lo tanto

$a_1+\ldots +a_n$$

es curioso todos $$f(2k)=a_0+2(a_1k)+2(2a_2k^2)+2(4a_3k^3)+\ldots +2(2^{n-1}k^na_n)$, y

$k$$

Puesto que todo el interior sumandos marcas de verificación son incluso excepto cuando $$f(2k+1)=\sum_{k=1}^na_k\sum_{i=1}^k{k\choose i}(2k)^i.$ vemos que

$i=0$$

que es incluso más un impar, por lo tanto son impares todos los valores de $$f(2k+1)=2N+\sum_{k=1}^na_k$.

Answer 2

Casi termines: $a_0$ es impar y $a_0+a_1+\cdots+a_n$ es impar implica que $a_1+\cdots+a_n$ es.

A continuación, para cada $x\in\mathbb{N}$, compruebe que $a_jx^j$ y $a_jx$ tienen la misma paridad cuando $j\geq 1$: $$ 2 | a_jx\iff [(2|a_j) \text {o}(2|x)] \iff [(2|a_j) \text {o} (2 | x ^ j)] \iff 2 | a_jx ^ j $$ ahora la reclamación sigue: para cualquier $x\in\mathbb{N}$ $\sum_{j=0}^na_jx^j$ tiene la misma paridad como $$ \underbrace{a_0}_{\text{odd}}+ (\underbrace {a_1 + \cdots + a_n} _ {\text {aún}}) x $$ que es impar. En particular, $\sum_{j=0}^na_jx^j$ no puede ser cero.

Answer 3

Las competencias de distinto de cero de un número par son incluso, las potencias de un número impar son impares.

Entonces el valor de $f$ para un argumento incluso es la suma de $a_0$ y condiciones incluso para que

$$f(e)=a_0+a_1e'+a_2e''+\dots+a_ne^{(n)}$$ has the parity of $a_0=f(0)$.

Y el valor de $f$ para un argumento impar es la suma de coeficientes de todos tiempos un factor extraño para que

$$f(o)=a_0+a_1(e'+1)+a_2(e''+1)+\dots+a_n(e^{(n)}+1)$$ has the parity of $a_0+a_1+a_2+\cdots a_n=f(1)$.

CONCLUSIÓN: para cualquier número entero, el valor de la función es impar, por lo tanto distinto de cero.