No, la prueba no es correcta.
Aquí va mi intento:
Teorema de
(Suponga ZF es consistente.) Deje $ T $ ser cualquier conjunto consistente de axiomas se extiende $ \mathrm{ZF} $.
A continuación, $ \{ \psi : T \vdash \psi \}$ no es recursiva.
Prueba. Asumir que fueron recursiva. Nos muestran que $ T $ es inconsistente. Por el Teorema 14.1, nos encontramos con una fórmula $ \chi(x) $ tal que
- $ T \vdash \psi $ implica $ \mathrm{ZF} \vdash \chi(\ulcorner \psi \urcorner) $ y
- $ T \nvdash \psi $ implica $ \mathrm{ZF} \vdash \neg \chi(\ulcorner \psi \urcorner) $.
Por el Teorema 14.2 (la corrección de punto lema), nos encontramos con una sentencia de $ \psi $ tal que $ \mathrm{ZF} \vdash (\psi \leftrightarrow \neg \chi(\ulcorner \psi \urcorner)) $.
Asumimos $ T \nvdash \psi $. A continuación, $ \mathrm{ZF} \vdash \neg \chi(\ulcorner \psi \urcorner) $ e lo $ \mathrm{ZF} \vdash \psi $ contradiciendo $ T \nvdash \psi $.
Por lo $ T \vdash \psi $. A continuación,$ \mathrm{ZF} \vdash \chi(\ulcorner \psi \urcorner) $, lo $ \mathrm{ZF} \vdash \neg \psi $, de donde $ T \vdash \neg \psi $. Por lo $ T \vdash (\psi \land \neg \psi) $, es decir, $ T $ es inconsistente.
QED.
Tenga en cuenta que este teorema (como todos los teoremas en la sección I. 14) son hechos probados en la metatheory. No hay que confundir formal de teoremas como
$$
\forall a, b, c, d \ \Bigl( \langle a, b \rangle = \langle c, d \rangle \leftrightarrow (a = c \de la tierra b = d) \Bigr)
$$
y los hechos en el metatheory como
$$
\mathrm{ZF} \vdash \forall a, b, c, d \ \Bigl( \langle a, b \rangle = \langle c, d \rangle \leftrightarrow (a = c \de la tierra b = d) \Bigr).
$$
Análisis de la prueba. Mis comentarios son puestas en cursiva.
Vamos a comprobar el contrapositivo. Así que supongamos $ T $ recursiva. Entonces
yo. Hay un $ \chi(x) $ s.t. $ T \vdash \psi \implies \mathrm{ZF} \vdash \chi(\ulcorner \psi \urcorner) $.
ii. Hay un $ \chi(x) $ s.t. $ T \nvdash \psi \implies \mathrm{ZF} \vdash \neg \chi(\ulcorner \psi \urcorner) $.
para cualquier $ \psi $.
Primero de todo, no mezclar la metatheory y la teoría: el uso de "$ \implies $" en ambos niveles! Además, no es sólo una $ \chi(x) $ tal que
- $ T \vdash \psi $ implica $ \mathrm{ZF} \vdash \chi(\ulcorner \psi \urcorner) $ y
- $ T \nvdash \psi $ implica $ \mathrm{ZF} \vdash \neg \chi(\ulcorner \psi \urcorner) $.
Se declaró la existencia de dos (tal vez diferentes fórmulas.
Tomamos nota de:
14.2: $ \mathrm{ZF} \vdash \psi \iff \neg \chi(\ulcorner \psi \urcorner) $.
Hay algunos $ \psi $ tal que $ \mathrm{ZF} \vdash (\psi \leftrightarrow \neg \chi(\ulcorner \psi \urcorner)) $.
Debemos mostrar $ T $ inconsistente (es decir,$ T \vdash \bot $).
Subproof 1.
¿Qué es un "subproof"? La estructura de la prueba de que está equivocado en este punto. Un caso de diferenciación no tiene sentido aquí, porque $ T \nvdash \psi $ conduce a una contradicción. Por lo $ T \vdash \psi $ de todos modos!
Supongamos $ T \vdash \psi $.
$ \mathrm{ZF} \vdash \chi(\ulcorner \psi \urcorner) \quad $ -- I. y de la asunción
$ T \vdash \psi \iff \neg \chi(\ulcorner \psi \urcorner) \quad $ -- 14.2 + el hecho de que $ T $ es una extensión de $ \mathrm{ZF} $
$ T \vdash \chi(\ulcorner \psi \urcorner) \quad $ , $ T $ Es una extensión de $ \mathrm{ZF} $
$ T \vdash \chi(\ulcorner \psi \urcorner) \iff \neg \chi(\ulcorner \psi \urcorner) $
¿Por qué "$ \iff $"? Debe ser $ T \vdash (\chi(\ulcorner \psi \urcorner) \land \neg \chi(\ulcorner \psi \urcorner)) $.
Por lo tanto $ T \vdash \bot $.
Final de Subproof 1.
Subproof 2.
Supongamos que en el otro lado $ T \nvdash \psi $.
Su principal reclamo es que $ T $ es inconsistente. A continuación, $ T \nvdash \psi $ no puede ser verdad (porque incoherente la teoría resulta de todo), así que tienes que tratar esto como una hipótesis y no como un segundo caso. Usted debe derivar una contradicción, es decir, una contradicción en la metatheoretical la lógica de la prueba. Este no es el mismo como el centro de la contradicción teórica en $ T $.
$ \mathrm{ZF} \vdash \neg \chi(\ulcorner \psi \urcorner) \quad $ -- Por supuesto, y ii.
$ \mathrm{ZF} \vdash \psi \quad $ -- Línea anterior y 14.2.
$ T \vdash \psi \quad $ -- $ T $ es una extensión de $ \mathrm{ZF} $.
$ T \vdash \psi \iff T \nvdash \psi $
¿Por qué "$ \iff $"? Debe ser$ T \vdash \psi $$ T \nvdash \psi $.
Este paso es un gran error! Ser cuidadoso con el uso de "$ \iff $". Se parecen confundir la metatheory y la teoría.
$ T \vdash \bot $
$ T \vdash \psi $ $ T \nvdash \psi $ el (metatheoretical) contradicción. $ T \vdash \bot $ no tiene ningún sentido como usted asumió $ T \nvdash \psi $ (ver arriba).
Final de Subproof 2.
Por lo tanto, de cualquier manera, $ T \vdash \bot $.
Final de la Prueba.
