Por qué $x^{p^n}-x+1$ es irreducible en ${\mathbb{F}_p}$ sólo cuando $n=1$ o $n=p=2$

Question

Tengo una pregunta, creo que se refiere a la teoría del campo.

Por qué el polinomio $$x^{p^n}-x+1$$ es irreducible en ${\mathbb{F}_p}$ sólo cuando $n=1$ o $n=p=2$ ?

Gracias de antemano. Me molesta durante varios días.

Answer 1

Utilizaremos con bastante libertad el resultado de que si $q(x)\in\mathbb F_p[x]$ es irreducible, entonces, para cualquier $k$ , $q(x)\mid x^{p^k}-x$ si y sólo si $\deg q\mid k$ .

Si $q_n(x)=x^{p^n}-x+1$ es irreducible, entonces hay un automorfismo, $\phi$ del campo $\mathbb F_p[x]/\left<q_n(x)\right>$ que envía $\bar x$ a $\bar x-1$ a saber:

$$\phi(\alpha)=\alpha^{p^n}$$

para cualquier elemento $\alpha$ . (Donde $\bar x$ es la imagen de $x$ de $\mathbb F_p[x]$ en este campo).

Entonces, $\phi(\bar x)=\bar x^{p^n}=\bar x-1$ . Por lo tanto, ese automorfismo debe tener el orden $p$ : $\phi^p = 1$ el automorfismo de identidad.

Ahora, $\phi^k(\alpha)=\alpha^{p^{kn}}$ Así que, en particular, $\bar x=\phi^p(\bar x)=\bar x^{p^{pn}}$ y, por lo tanto, sabemos que $0=\bar x^{p^{pn}}-\bar x$ y, por tanto, que el polinomio $x^{p^{pn}}-x$ es divisible por $q_n(x)$ .

Utilizando el resultado anterior, vemos por tanto que $p^n=\deg q_n(x)\mid pn$ . Pero $p^n\mid pn$ sólo puede ocurrir si $n=1$ o $n=2$ y $p=2$ .

Creo que puedes demostrar que $q_1(x)\mid x^{p^p}-x$ de forma bastante sencilla, por lo que se demuestra que debe factorizar como elementos de grado $p$ y el grado $1$ . Pero claramente no tiene factores de grado $1$ ya que no tiene raíces en $\mathbb F_p$ Así que, como $\deg q_n=p$ , $q_1(x)$ debe ser primo.

Luego está el último caso, $x^4-x+1$ en $\mathbb F_2$ que puedes forzar de forma bruta.

Answer 2

Tengo otra solución que podría ser más fácil de seguir.

Dejemos que $\alpha$ sea una raíz de $q(x)=x^{p^n}-x+1$ . Tenga en cuenta que $\alpha + a$ también es una raíz de $q(x)$ para todos $a \in \mathbb{F}_{p^n}$ . Consideremos el grupo cíclico muplicativo $\mathbb{F}_{p^n}^{\times} = \mathbb{F}_{p}(\theta)$ para algún generador $\theta$ entonces $\alpha + \theta$ y $\alpha$ son raíces de $q(x)$ por lo que pertenecen a $\mathbb{F}_{p}(\alpha)$ que muestra que $\theta \in \mathbb{F}_{p}(\alpha)$ Por lo tanto $\mathbb{F}_{p^n} \subset \mathbb{F}_{p}(\alpha)$ . Tenemos $\mathbb{F}_{p} \subset \mathbb{F}_{p^n} \subset \mathbb{F}_{p}(\alpha)$ .

Si $p(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_p$ entonces $[\mathbb{F}_{p}(\alpha):\mathbb{F}_{p}] = p^n$ Por lo tanto $|\mathbb{F}_{p}(\alpha)|=p^{pn}$ . Consideremos el endomorfismo $\sigma$ : $\mathbb{F}_{p}(\alpha) \to \mathbb{F}_{p}(\alpha)$ que envía $\alpha \to \alpha^{p^n}$ (¿por qué es un endomorfismo?). Consideremos el subgrupo del automorfismo $H = \langle \sigma \rangle$ . $H$ fija $\mathbb{F}_{p^n}$ (¿Por qué?), así que tenemos $[\mathbb{F}_{p}(\alpha): \mathbb{F}_{p^n}]=|H|=p$ ( $\sigma^p$ es el mapa de identidad). Entonces $[\mathbb{F}_{p}(\alpha):\mathbb{F}_{p}] = [\mathbb{F}_{p}(\alpha): \mathbb{F}_{p^n}][\mathbb{F}_{p^n}:\mathbb{F}_{p}]$ lo que significa $p^{n}=pn$ y esto sólo ocurre cuando $n=1$ o $n=p=2$ .