Extensión y anillo autoinyectable

Question

Sea $R$ sea un anillo autoinyectivo. Entonces $R^n$ es un módulo inyectivo. Sea $M$ sea un submódulo de $R^n$ y que $f:M\to R^n$ ser un $R$ -homomorfismo de módulo. Por inyectividad de $R^n$ sabemos que podemos ampliar $f$ a $\tilde{f}:R^n\to R^n$ .

Mi pregunta es que si $f$ es inyectiva, ¿podemos encontrar también una extensión inyectiva $\tilde{f}:R^n\to R^n$ ?

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

La pregunta también es cierta sin ninguna conmutatividad para los anillos de cuasi-Frobenius.

Recordemos que a anillo cuasi-Frobenius es un anillo autoinyectivo unilateral y noetheriano unilateral. También resulta que es autoinyectivo de dos lados y artiniano de dos lados.

Para todo módulo proyectivo finitamente generado $P$ sobre un anillo cuasi-Frobenius $R$ un hecho bien conocido es que los isomorfismos de submódulos de $P$ se extienden a automorfismos de $P$ . (Encontrará esta información en la página 415 de la obra de Lam Conferencias sobre módulos y anillos .)

Obviamente su $P=R^n$ es f.g. proyectiva, e inyectando $M$ en $P$ sólo da lugar a un isomorfismo entre $M$ y su imagen, ¡así que ahí lo tienes!

De hecho, este resultado parece un poco exagerado para tu pregunta original, así que no me sorprendería que existiera una clase que contuviera adecuadamente los anillos QF y que cumpliera tu condición.

Answer 2

Esto es cierto si $R$ es conmutativa y noetheriana; no sé si eso es suficiente para lo que quieres. (Esta solución puede ser demasiado complicada; en realidad no sé cómo demostrar todos los hechos que estoy usando).

Si $R$ es conmutativo, noetheriano y autoinyectivo, entonces es artiniano, es un producto finito de anillos artinianos locales, por lo tanto podemos reducir al caso local.

Así que di $R$ es conmutativo, noetheriano y local (y por tanto artiniano, pero no lo usaré). Tomemos un casco inyectivo de $M$ en $R^n$ lo llaman $Q$ . Así que $f$ se extiende inyectivamente a $f:Q\rightarrow R^n$ y ahora tenemos que ampliarlo de $Q$ a todos los $R^n$ . Desde $Q$ es inyectiva, es un sumando directo de $R^n$ y, por tanto, también es proyectiva. Pero asumimos $R$ era local, y por tanto $Q$ es libre; digamos que es isomorfo a $R^m$ , $m\le n$ .

Entonces una función inyectiva $R^k \rightarrow R^n$ es lo mismo que un subconjunto (ordenado) linealmente independiente de $R^n$ de $k$ elementos. Así que tenemos $m$ elementos linealmente independientes de $R^n$ y queremos ampliarlo a $n$ tal. Podemos extenderlo a un conjunto máximo linealmente independiente, ciertamente; la cuestión entonces es sólo si tal conjunto necesariamente tiene $n$ elementos.

Ahora, ya que asumimos $R$ fuera conmutativa y noetheriana, podemos aplicar el teorema de Lazarus citado aquí y digamos que sí, un conjunto máximo linealmente independiente de $R^n$ tiene necesariamente $n$ elementos, y así haber ampliado $f$ a $Q\cong R^m$ podemos ampliarlo a $R^n$ .