No existe ningún entero $m$ tal que $3n^2+3n+7=m^3$

Question

Tengo este problema realmente duro que estoy trabajando y solo no parece conseguirlo. La pregunta es: que $n$ ser un entero positivo; demostrar que no existe ningún entero $m$ tal que $3n^2+3n+7=m^3$.

Por favor explique en detalle lo contrario que yo no podría entender. También estoy abierto para cualquier método que pueda ayudarme. Gracias. Por favor ayuda.

Answer 1

Yo estoy haciendo este wiki de la comunidad porque estoy realmente sólo desembalaje de los comentarios. Con el método correcto, este problema puede parecer extremadamente fácil, pero todavía se requiere un par de tediosos cálculos y la respuesta no es instantáneamente obvio, a pesar de lo que algunas personas quieren que usted crea.

Sabemos que $m^3 \equiv 0, 1, 8 \pmod 9$ (si usted duda de esto, tome el cubo de cualquier entero positivo, sumar sus dígitos y repetir sumando los dígitos hasta que solo tienen un solo dígito a la izquierda; un 9 es equivalente a 0).

A continuación,$3n^2 \equiv 0, 3 \pmod 9$. Y $3n \equiv 0, 3, 6 \pmod 9$, lo que sugiere que el$3n^2 + 3n \equiv 0, 3, 6 \pmod 9$. Agregar 7 a estos y consigue $3n^2 + 3n \equiv 7, 1, 4 \pmod 9$.

Por lo tanto, tenemos $3n^2 + 3n \equiv 3 \pmod 9$, de modo que $3n^2 + 3n + 7 \equiv 1 \pmod 9$.

La enumeración de los casos uno por uno:

• Si $n \equiv 0 \pmod 9$,$3n^2 + 3n + 7 \equiv 0 + 0 + 7 = 7 \pmod 9$.
• Si $n \equiv 1 \pmod 9$,$3n^2 + 3n + 7 \equiv 3 + 3 + 7 = 4 \pmod 9$.
• Si $n \equiv 2 \pmod 9$,$3n^2 + 3n + 7 \equiv 3 + 6 + 7 = 7 \pmod 9$.
• Si $n \equiv 3 \pmod 9$,$3n^2 + 3n + 7 \equiv 0 + 0 + 7 = 7 \pmod 9$.
• Si $n \equiv 4 \pmod 9$,$3n^2 + 3n + 7 \equiv 3 + 3 + 7 = 4 \pmod 9$.
• Si $n \equiv 5 \pmod 9$,$3n^2 + 3n + 7 \equiv 3 + 6 + 7 = 7 \pmod 9$.
• Si $n \equiv 6 \pmod 9$,$3n^2 + 3n + 7 \equiv 0 + 0 + 7 = 7 \pmod 9$.
• Si $n \equiv 7 \pmod 9$,$3n^2 + 3n + 7 \equiv 3 + 3 + 7 = 4 \pmod 9$.
• Si $n \equiv 8 \pmod 9$,$3n^2 + 3n + 7 \equiv 3 + 6 + 7 = 7 \pmod 9$.

Como resulta, $3n^2 + 3n \equiv 3 \pmod 9$ es imposible. Así, hemos demostrado que $3n^2 + 3n + 7$ carece de una de las características de cubos, y por lo tanto no puede ser un cubo.

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Si hubiéramos encontrado una instancia de la congruencia módulo 9, que habría sido insuficiente para demostrar la ecuación no tiene soluciones, incluso a pesar de la ausencia de la congruencia no demostrar que no hay soluciones.

También tenga en cuenta que no es necesario restringir $n$ a los enteros positivos, ya que si $n$ es negativa, entonces la $n^2$ es positivo, mientras que el $n = 0$ nos da 7, que es bastante claro que no un cubo.

Answer 2

Toma % mod $3$, la ecuación de $3n^2+3n+7=m^3$ se vuelve $m^3\equiv1$mod $3$, que implica $m\equiv1$mod $3$. $m=3k+1$ De la escritura y ampliar, obtenemos

$$3n^2+3n+7=27k^3+27k+9k+1$$

que reduce a

$$n^2+n+2=9k^3+9k^2+3k$$

Tomando este mod $3$ da $n^2+n-1\equiv0$mod $3$. Si se multiplican ambos lados por $4$, pueden completar el cuadrado y encontrar

$$(2n+1)^2\equiv2\mod3$$

Pero $2$ no es un cuadrado mod $3$, por lo que la ecuación de $3n^2+3n+7=m^3$ no tiene soluciones del número entero.

Answer 3

Reescritura, consigues $3n^2 + 3n = m^3 - 7$. Mira este $\bmod 18$: conseguimos que $m^3 - 7 \equiv 12, 1, 2, 3, 10, \textrm{ or } 11 \bmod 18$, $3n^2 + 3n \equiv 0 \textrm{ or } 6 \bmod 18$.

Answer 4

Sugerencia: Buscar en la ecuación módulo $9$.

Detalles: en Primer lugar se observa que para cualquier $m$, $m^3$ es congruente a uno de $0$, $1$, o $-1$ modulo $9$. Para ello, es suficiente encontrar los cubos de $0,1,2,3,4$ modulo $9$, ya que el $(-m)^3\equiv -m^3\pmod{9}$.

Ahora calculamos $n^2+n$ modulo $3$. Es fácil comprobar que $n^2+n$ es congruente a $0$ o $-1$ modulo $3$. Si $n^2+n$ es divisible por $3$,$3n^2+3n+7\equiv 7\pmod{9}$. Y si $n^2+n\equiv -1\pmod{3}$, $n^2+n$ es de la forma $3k-1$, y por lo tanto $3n^2+3n+7$ es de la forma $9k+4$, por lo que es congruente a $4$ modulo $9$.

Comparando, nos encontramos con que $3n^2+3n+7$ nunca puede ser congruentes a $m^3$ modulo $9$, y por lo tanto la ecuación de $3n^2+3n+7=m^3$ no tiene solución en los números enteros.

Comentario: el Estudio de una ecuación de Diophantine modulo algunos $q$ puede ser un método útil para mostrar la ecuación no tiene solución. Sin embargo, encontrar el correspondiente módulo puede ser difícil. Además, el método no necesita trabajar. Hay Diophantine ecuaciones que no tienen entero solución, pero tiene una solución modulo cada $q$.

El módulo de $9$ puede ser útil cuando estamos tratando con cúbicas, ya $x^3$ toma en muy pocos valores de modulo $9$.