Encontrar el resto de $51!$ cuando se divide por $61$?

Question

Encontrar el resto de $51!$ cuando se divide por $61$ ?

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Yo :

Por Wilson del teorema $60! ≡ −1\pmod{61}$

Entonces, puedo escribir

$(60)(59)(58)(57)(56)(55)(54)(53)(52)51!≡−1\pmod{61}$

$(−1)(−2)(−3)(−4)(−5)(−6)(−7)(−8)(−9)51!≡−1\pmod{61}$

$(362880)51!\equiv1\pmod{61}$

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¿Cómo puedo continuar después de esta O hay algún otro método ?

Answer 1

$60! = -1 \bmod 61$ \begin{align}y_A &= g_{AA}y_A + g_{AB}y_B + g_{AC}y_C + \tfrac{p_A}{100}\\ y_B &= g_{BA}y_A + g_{BB}y_B + g_{BC}y_C + \tfrac{p_B}{100}\\ y_C &= g_{CA}y_A + g_{CB}y_B + g_{CC}y_C + \tfrac{p_C}{100}\end-------- Por el teorema de Wilson
$51! \times 52 \times \cdots \times 60 = -1 \bmod 61$
$51! \times (-9) \times \cdots \times (-1) = -1 \bmod 61$
$51! \times (-1) \times 9! = -1 \bmod 61$

Invierte en los pasos siguientes se calculan utilizando el algoritmo de Euclides Extendido. $51! = -1 \times (-1)^{-1} \times 9!^{-1} \bmod 61$
$51! = -1 \times (-1)^{-1} \times 362880^{-1} \bmod 61$
$51! = -1 \times (-1)^{-1} \times 52^{-1} \bmod 61$
$51! = -1 \times -1 \times 27 \bmod 61$

$51! = 27 \bmod 61$
Por lo tanto, el resto es de 27.

Answer 2

Su prueba es bastante correcto.

Continuar con $362880 \text{ (mod 61)} = 52 = -9$. Usted está a la izquierda para encontrar una inversa de a $9 \text{ mod } 61$.

Pero $9 \cdot 7 = 63 = 2 \text{ mod 61}$, e $2 \cdot 31 = 1 \text{ mod 61}$. Por lo $9 \cdot 7 \cdot 31 = 1 \text{ mod 61}$. Por lo $9^{-1} = 7 \cdot 31 = 34 = -27 \text{ mod 61}$. A continuación,$(-9)^{-1} = 27 \text{ mod 61}$.

Por lo tanto, su respuesta es $\boxed{27}$.

N. B. : Todas las igualdades mantener modulo $61$, si no se menciona explícitamente.

Answer 3

Continuación de su trabajo sin la evaluación de $9!$ explícitamente:

$$51!9!\equiv 1 \mod 61$$

$$51! 2(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) \equiv 1 \mod 61$$

Desde $2(5)(6)=60$, $$51! (60)(3)(4)(7)(8)(9) \equiv 1 \mod 61$$

$$51! (-1)(3)(4)(7)(8)(9) \equiv 1 \mod 61$$

$$51! (3)(4)(7)(8)(9) \equiv -1 \mod 61$$ Desde $9(7)=63$,

$$51! (3)(4)(8)(63) \equiv -1 \mod 61$$

$$51! (3)(4)(8)(2) \equiv -1 \mod 61$$ Desde $2(4)(8)=64$, $$51! (3)(64) \equiv -1 \mod 61$$

$$51! (3)(3) \equiv -1 \mod 61$$

$$51! (9) \equiv -1 \mod 61$$

Vamos a hacer el algoritmo de Euclides para calcular $9^{-1} \mod 61$:

$$61=9(6)+7$$ $$9=7+2$$ $$7=3(2)+1$$

Por lo tanto $$1=7-3(2)=7-3(9-7)=4(7)-3(9)=4(61-9(6))-3(9)=4(61)-27(9)$$

$$9^{-1}\equiv -27 \mod 61$$ .

Por lo tanto $$51!\equiv 27 \mod 61$$

Answer 4

Como te has dado cuenta, la pregunta es equivalente a encontrar $9!\pmod{61}$, y desde $$9! = 2^6\cdot 3^4\cdot 70 \equiv 3\cdot 17\cdot 7 \equiv -70 \equiv 9\pmod{61}$$ es suficiente para encontrar $-9^{-1}\pmod{61}$$-(3^{-1})^2\pmod{61}$.
Desde $3^{-1}\equiv 41\pmod{61}$, la respuesta es $\color{red}{27}$.