Esta cuestión ha estado en mi mente por un tiempo. Según tengo entendido, la construcción de Q fue la primera definición de k-teoría algebraica más alta. Aquí encontrará algunos detalles.
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_K-Theory
Siempre me he preguntado qué tren de pensamiento llevó Quillen para llegar a esta definición. ¿Alguien sabe una interpretación de la construcción de Q que hace parecer natural?
Siempre me ha gustado la interpretación de Quillen dio en su "del grupo En la realización de un simplicial monoid de papel" (Apéndice Q en Friedlander-Mazur "Filtraciones en la homología de variedades algebraicas"). Aquí es un poco de la versión revisionista.
Asociado a una categoría monoidal C, usted puede tomar su nervio NC, y la estructura monoidal da lugar a una multiplicación coherente (Un a∞-estructura de espacio) en carolina del norte. (Si usted trabajar un poco más en realidad se puede convertir en un topológico monoid.)
Puede mostró en su ponencia "La geometría de la iteración de bucle espacios" que Un∞-estructura de espacio en X es exactamente la estructura que usted necesita para producir una clasificación de espacio BX, y hay una natural mapa de X para el bucle espacio Omega(BX) que es un mapa de∞-espacios, y es un débil equivalencia si y sólo si π0(X) fue un grupo en lugar de un monoid con el∞-monoid estructura. En realidad, la Omega(BX) satisface esta propiedad, y por lo que usted puede pensar en él como un "homotopy teórico" grupo de la finalización de la coherente monoid X.
Lo Quillen demuestra que se puede reconocer la homotopy grupo teórico de la finalización de la siguiente manera: el homotopy grupo de finalización de X tiene homología que es la localización de la homología anillo de X por la inversión de las imágenes de π0(X) H0(X). Por otra parte, el componente conectado de la identidad en el homotopy grupo de finalización está conectado a un H-espacio, por lo que su grupo fundamental es abelian y actos trivialmente en la mayor homotopy grupos.
En particular, si X es el nervio de la categoría de finitely libres generados por los módulos sobre un anillo R, entonces X es homotopy equivalente a un discontinuo de la unión de la clasificación de los espacios BGLn(R), con estructura monoidal inducida por el bloque de la suma. El monoid π0(R) es la de los números naturales N, y por lo que se puede considerar el mapa
X = coprod_(n∈N) BGL_n(R) → coprod_(n∈Z) BGL(R)
para una unión de copias de la infinita clasificación de espacio. Este mapa induce la localización de la H*(X), de modo que el espacio de la derecha tiene que tener la misma homología como el homotopy grupo de finalización, pero el problema es que el componente conectado de la identidad de la derecha (BGL(R)) no tiene un abelian grupo fundamental de que los actos trivialmente en la mayor homotopy grupos, por lo que este no puede ser el homotopy grupo completado todavía.
Esto nos lleva a la plus-construcción: para encontrar la homotopy grupo de finalización se supone que tienes que tomar BGL(R) y producir un nuevo espacio, que tiene que tener la misma homología como BGL(R), y que tiene un abelian grupo fundamental (más cosas en mayor homotopy grupos). Esto es lo que el plus-de la construcción hace por usted.
Quillen Q-construcción contiene dentro de sí el monoidal simétrica de los nervios de la construcción (se puede considerar sólo la especial exacta secuencias que involucran la suma directa de inclusiones y proyecciones), pero con el añadido de la estructura que se "rompe" exacto secuencias para usted. Me gustaría poder decirte cómo Quillen se le ocurrió esto, pero esto es lo mejor que puedo hacer.
Quillen s $P$-construcción de forma natural surge como una limpieza de la versión de Segal del filo la subdivisión de Waldhausen $s_\bullet$-construcción.
Waldhausen $s_\bullet$-construcción da un lugar definición natural de la algebraicas $K$-teoría del espacio de un exacto categoría $C$. Es un conjunto simplicial $s_\bullet$ C, cuyos elementos en grado $q\ge0$ se `longitud $q$ filtraciones" $0 \rightarrowtail M_1 \rightarrowtail \dots \rightarrowtail M_q$ en $C$, además de algunas opciones. El algebraicas $K$-teoría de espacio $K(C)$ se define como el bucle espacio $\Omega |s_\bullet C|$ de la geométrica de la realización de este simplicial conjunto.
Mi entendimiento es que Quillen sabía de esta construcción, pero fue descontentos con el paso de las categorías a simplicial conjuntos. En algún momento él se dio cuenta de que incluso si $s_\bullet$ C no es el nervio de una categoría, su Segal subdivisión $Sd(s_\bullet C)$ es (básicamente) el nervio de una categoría. Esa categoría es el $P$-construcción, $Q(C)$.
Desde Segal subdivisión no cambiar el homotopy tipo, el bucle espacio $\Omega |P(C)|$ de la clasificación de espacio de $P(C)$ es una buena definición para $K(C)$ como el que se enunció por primera vez.
Algunas personas escriben $BQ(C)$ donde escribo $|Q(C)|$. Véase la Sección 1.9 de
Waldhausen, Friedhelm, Algebraicas $K$-teoría de los espacios. Algebraicas y geométrica de la topología (Nuevo Brunswick, N. J., 1983), 318--419, Notas De La Conferencia en Math., 1126, Springer, Berlín, 1985.
para obtener más detalles.
Hay una diferente motivación diferente de la que se discutió anteriormente que aparece en un papel por Graeme Segal ("K-homología y algebraica de K-teoría," LNM 575 K-teoría y Álgebras de operadores, Atenas, Georgia, 1975, pp 113-127).
El $P$-construcción no está motivado por considerar auto-adjunto Fredholm operadores en el espacio de Hilbert.
Más precisamente Segal muestra que la homotopy tipo de la clasificación de espacio de Q-construcción de la categoría de finito dimensionales espacios vectoriales sobre los reales o los números complejos es el mismo que el del espacio $Saf(H)$ consistente de sí mismo-adjoint operadores de Fredholm en infinitas dimensiones espacio de Hilbert $H$: $$ BQC \simeq Saf(H) . $$ Un mapa de $V\V'$ en la $P$-construcción en la categoría de $C =$ Vect de finito dimensionales espacios vectoriales es representado como un triple $(W_+,W_-;\alpha)$ que $\alpha: W_+\oplus V\oplus W_- \V'$ es un isomorfismo de espacios vectoriales.
Según Segal, la idea se supone que un operador de Fredholm se determina hasta contráctiles elección por parte de su núcleo y cokernel, que son un par de finito dimensionales espacios vectoriales. Cuando un operador de Fredholm se deforma continuamente, su núcleo y cokernel puede saltar, pero sólo mediante la adición de isomorfo piezas a cada uno.
En el auto adjunto caso, el operador está determinado por su núcleo hasta contráctiles elección. El núcleo, a continuación, corresponde a un objeto de la $P$-construcción. Cuando el operador se deforma, el núcleo saltos de tal manera que la parte añadida a es una suma directa de la parte en la que el operador fue positiva y una parte en la que fue negativo. Estos corresponden a los términos de $W_\pm$ que aparecen arriba.
Así que la heurística de la motivación, en pocas palabras es esta: los objetos de los $P$-construcción corresponden a la auto-adjunto operadores de Fredholm y los morfismos corresponden a las deformaciones de dichos operadores. El paso está dado por tomar operador de granos.
(nota: creo Segal quiere considerar el por encima de los $C$ como topológica de la categoría).
Ampliación de Tyler Lawson comentario en el Q-construcción, me gustaría decir lo siguiente. El K0 functor implica dos procesos, un grupo de finalización (de la monoid estructura dada por la suma directa) y una identificación de todas las extensiones de cualquiera de los dos objetos. Es decir, K_0 exacta, de la categoría E es el grupo abelian generados por los objetos de E (grupo de finalización), junto con las relaciones [B] = [A] + [C] para cada secuencia exacta
A >---> B --->> C
Ahora, la mayor K-teoría es una especie de categorification, haciendo que ambos procesos por encima de recordar superior homotopical de datos. Entonces tomamos la definición de
Ki(E) = pii Omega BQE
Aquí Omega B corresponde a un homotopical grupo de finalización según lo explicado por Tyler. Quillen Q-construcción de los cambios de los morfismos de la categoría E en la manera que cuando el grupo de-terminada, "las extensiones de convertirse en split" (dando a la relación [B] = [A] + [C]). Estrictamente hablando, el Q-construcción no precisas secuencias dividir en QE, QE tiene el mismo isomorphisms como el Correo, sólo la no-isos cambio: una de morfismos A ---> B en QE corresponden a la identificación de Una con un subquotient de B.
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