Un binomio anillo es un anillo (para el propósito de esta pregunta, todos los anillos son conmutativas y unital) que es de torsión y, para cada una de las $n$, un binomio función de $\binom{x}{n}$ satisfacción $n!\binom{x}{n} = x(x-1) \cdots (x-n+1)$. La categoría de $\mathsf{BRing}$ binomial anillos es una subcategoría de la categoría $\mathsf{Ring}$ de los anillos. Este documento muestra (sección 7), de que el pleno de la subcategoría $\mathsf{BRing} \subset \mathsf{Ring}$ es tanto reflexivo y coreflective. Esto implica que $\mathsf{BRing}$ es cerrado bajo los límites y colimits en $\mathsf{Ring}$ (colimits existen porque se pueden formar en $\mathsf{Ring}$ y, a continuación, se refleja en $\mathsf{BRing}$, y que está de acuerdo con colimits en $\mathsf{Ring}$ debido a la inclusión de un derecho adjoint, el coreflection. Doblemente por los límites.)
Pero yo construido en paralelo un par de homomorphisms binomial anillos cuyo coequalizer es $\mathbb{Z}/2$, que no es de torsiones. Por lo que se ve como $\mathsf{BRing}$ no es cerrado bajo coequalizers. De hecho, la coequalizer de estos dos mapas en $\mathsf{BRing}$ existe, y está dado por el cero del anillo. Por lo que la inclusión $\mathsf{BRing} \to \mathsf{Ring}$ no conserva colimits, y no puede tener un derecho adjuntos. A la derecha?
Permítanme volver a estado de la construcción aquí, en la esperanza de que alguien encuentre un agujero en él. Deje $\mathcal{B}$ ser la categoría de universal álgebras de cuyas operaciones son el anillo de operaciones, junto con, para cada una de las $n$, un unario operación $\binom{-}{n}$, y cuyas relaciones son el anillo de ecuaciones, junto con las ecuaciones de $n!\binom{x}{n} = x(x-1)\cdots (x-n+1)$. A continuación, $\mathsf{BRing}$ es concretamente isomorfo a un total subcategoría de $\mathcal{B}$ (que consta de las álgebras de cuya suma es de torsión libre), ya que cualquier anillo homomorphism en $\mathsf{BRing}$ también conserva la $\binom{-}{n}$ operaciones por torsionfreeness.
Deje $F[x,y]$ ser el libre objeto de $\mathcal{B}$ en dos generadores. Obviamente $F[x,y]$ es de torsiones. Hay un cociente mapa de $q: F[x,y] \to \mathbb{Z}/2$ donde $\mathbb{Z}/2$ está equipada con un $\mathcal{B}$-álgebra con la estructura habitual subyacente anillo, y cada una de las $\binom{-}{n}$ operación idénticamente igual a cero (en realidad, cada una de las $\binom{-}{n}$ puede ser definido de manera arbitraria, no importa). Decir que $q(x)=0$$q(y)=1$. Entonces, desde el $\mathcal{B}$ es una expresión algebraica de la categoría, el núcleo par de $q$ existe en $\mathcal{B}$ y que está dado por $K = \{(a,b) \mid q(a)=q(b)\} \subset F[x,y] \times F[x,y]$. Como un subgrupo de un producto de torsionfree aditivo grupos, el grupo aditivo de $K$ es torsionfree, por lo $K$ se encuentra en $\mathsf{BRing}$.
Así que las dos proyecciones de $K \stackrel{\to}{\to} F[x,y]$ formar un coequalizer diagrama en $\mathsf{BRing}$. Su coequalizer en $\mathsf{Ring}$$\mathbb{Z}/2$, debido a que sólo hay dos clases de equivalencia. Pero desde $\mathbb{Z}/2$ es de torsión, que no se encuentran en $\mathsf{BRing}$. Por lo que la inclusión $\mathsf{BRing} \to \mathsf{Ring}$ no conservar esta coequalizer.
