Hamiltoniano de unión ajustada del grafeno

Question

El grafeno tiene dos átomos en su celda unitaria primitiva. Esto hace que sea intuitivo ver que el hamiltoniano de enlace fuerte se puede construir como una matriz $ 2 \times 2 $ $H$ actuando sobre un espinor $S$ que consiste en la función de onda de un átomo en la subred A y B.

$H_{monocapa}=\gamma \cdot \begin{pmatrix} 0 & k_x-ik_y \\ k_x+ik_y & 0 \end{pmatrix}$

$S_{monocapa}=\begin{pmatrix} |\psi_A\rangle\\ |\psi_B\rangle \end{pmatrix}$

El grafeno de doble capa tiene cuatro átomos en una celda unitaria primitiva y su hamiltoniano de enlace fuerte es una matriz 4x4 cuyos elementos de la matriz representan el salto entre dichos sitios de la red (dependiendo de cómo esté apilado y qué parámetros de salto desee involucrar en el cálculo). Un ejemplo podría ser el siguiente:

$H_{bilayer}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & v(k_x-ik_y)\\ 0 & 0 & v(k_x+ik_y) & 0\\ 0 & v(k_x-ik_y) & 0 & \gamma'\\ v(k_x+ik_y) & 0 & \gamma' & 0 \end{pmatrix}$

$S_{bilayer}=\begin{pmatrix} |\psi_{A1}\rangle\\ |\psi_{B2}\rangle\\ |\psi_{A2}\rangle\\ |\psi_{B1}\rangle \end{pmatrix}$

Donde la base se elige en un orden arbitrario (los índices 1 y 2 se refieren al número de capa).

¿Cómo se escribe esto en una "base de dos componentes" y qué significa eso? Además, ¿en qué está actuando este hamiltoniano en este caso? El hamiltoniano de bilayer en esta base (que desconozco qué representa) se escribe de la siguiente manera:

$H'_{bilayer}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\begin{pmatrix} 0 & (k_x-ik_y)^2 \\ (k_x+ik_y)^2 & 0 \end{pmatrix}$

Answer 1

El espacio de Hilbert del sistema de doble capa, que está compuesto por la base de cuatro componentes, se puede dividir en el subespacio de energía baja y el subespacio de energía alta. El subespacio de energía baja está compuesto por $|\psi_{A1}\rangle$ y $|\psi_{B2}\rangle$, mientras que el subespacio de energía alta está compuesto por $|\psi_{A2}\rangle$ y $|\psi_{B1}\rangle$. Es el acoplamiento entre capas $\gamma'$ lo que hace que las cuatro bases sean diferentes. $|\psi_{A2}\rangle$ y $|\psi_{B1}\rangle$ están acopladas entre sí, formando los estados ligados y antiligados: $|\psi_{A2}\rangle\mp|\psi_{B1}\rangle$ (de energía $\mp\gamma'$), y por lo tanto se alejan de la superficie de Fermi (o del nivel de energía cero). Mientras que $|\psi_{A1}\rangle$ y $|\psi_{B2}\rangle$ no están acopladas, y permanecen con energía cero en el límite $k\to0$ (longitud de onda larga). Deseamos considerar el hamiltoniano efectivo para los electrones de baja energía cerca del nivel de Fermi (porque el transporte y muchas otras propiedades físicas están dominadas por ellos). Estos estados de electrones de baja energía están compuestos principalmente por $|\psi_{A1}\rangle$ y $|\psi_{B2}\rangle$, por lo que buscamos reducir el hamiltoniano de 4 por 4 a su bloque superior de 2 por 2. Esto se puede hacer en términos de una perturbación de 2º orden. El hamiltoniano resultante de 2 por 2 actúa en el subespacio de energía baja compuesto por la base $|\psi_{A1}\rangle$ y $|\psi_{B2}\rangle$.

Aquí están los detalles de cómo funciona. Para simplificar nuestra notación, introducimos las matrices de Pauli $\sigma_x$, $\sigma_y$ y $\sigma_z$. El hamiltoniano de doble capa de 4 por 4 se puede escribir como $$H_\text{bilayer}=\left(\begin{matrix}0&v\vec{k}\cdot\vec{\sigma}\\ v\vec{k}\cdot\vec{\sigma}&\gamma'\sigma_x\end{matrix}\right),$$ donde $\vec{k}\cdot\vec{\sigma}=k_x\sigma_x+k_y\sigma_y$. Alrededor del momento $k\to 0$, el término $v \vec{k}\cdot\vec{\sigma}$ se puede tratar como la perturbación. Explícitamente, $H_\text{bilayer}=H_0+H_1$, con $H_0$ siendo el hamiltoniano de orden 0 y $H_1$ siendo la perturbación de 1er orden, $$H_0=\left(\begin{matrix}0&0\\ 0&\gamma'\sigma_x\end{matrix}\right),H_1=\left(\begin{matrix}0&v\vec{k}\cdot\vec{\sigma}\\ v\vec{k}\cdot\vec{\sigma}&0\end{matrix}\right).$$ Ahora queremos considerar la corrección perturbativa aportada al bloque superior de 2 por 2 de $H_0$ por $H_1$. Según el formalismo de perturbación de 2º orden, la corrección (en el bloque superior) es $$H_2'=-(v\vec{k}\cdot\vec{\sigma})(\gamma'\sigma_x)^{-1}(v\vec{k}\cdot\vec{\sigma})=-\frac{v^2}{\gamma'}((k_x^2-k_y^2)\sigma_x+2k_xk_y\sigma_y).$$ El hamiltoniano efectivo en el bloque superior debe ser dado por $H_0'+H_1'+H_2'+\cdots$, pero $H_0'=H_1'=0$, así que eventualmente tenemos $$H_\text{bilayer}'\simeq H_2'=-\frac{v^2}{\gamma'}\left(\begin{matrix}0&(k_x-ik_y)^2\\(k_x+ik_y)^2&0\end{matrix}\right),$$ como se esperaba (con la masa efectiva $m$ definida correctamente para hacer $\hbar^2/2m=v^2/\gamma'$).