Cómo probar $\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$ ?

Question

Me gustaría encontrar el apotema de un pentágono regular. Se deduce de

$$\cos \dfrac{2\pi }{5}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}.$$

¿Pero cómo se puede demostrar esto (geométrica o trigonométricamente)?

Answer 1

Desde $x := \cos \frac{2 \pi}{5} = \frac{z + z^{-1}}{2}$ donde $z:=e^{\frac{2 i \pi}{5}}$ y $1+z+z^2+z^3+z^4=0$ (para $z^5=1$ y $z \neq 1$ ), $x^2+\frac{x}{2}-\frac{1}{4}=0$ y voilà.

Answer 2

Considere una $\triangle ABC$ con $AB=1$ , $\mathrm{m}\angle A=\frac{\pi}{5}$ y $\mathrm{m}\angle B=\mathrm{m}\angle C=\frac{2\pi}{5}$ , y señalar $D$ en $\overline{AC}$ tal que $\overline{BD}$ biseca $\angle ABC$ . Ahora, $\mathrm{m}\angle CBD=\frac{\pi}{5}$ y $\mathrm{m}\angle BDC=\frac{2\pi}{5}$ Así que $\triangle ABC\sim\triangle BCD$ . También hay que tener en cuenta que $\triangle ABD$ es isósceles para que $BC=BD=AD$ .

Dejemos que $x=BC=BD=AD$ . De los triángulos similares, $\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD}$ ou $\frac{1}{x}=\frac{x}{1-x}$ Así que $1-x=x^2$ y $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ (la otra solución es negativa y las longitudes no pueden ser negativas).

Ahora, aplica la Ley de los Cosenos a $\triangle ABC$ : $$\begin{align} \cos\frac{2\pi}{5}=\cos C&=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\\\ &=\frac{\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2+1^2-1^2}{2\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot 1} \\\\ &=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \\\\ &=\frac{\sqrt{5}-1}{4}. \end{align}$$

Answer 3

¿Qué tal si combinatoriamente ? Esto se deduce de los dos hechos siguientes.

• Los valores propios del matriz de adyacencia de la gráfico de ruta en $n$ los vértices son $2 \cos \frac{k \pi}{n+1}, k = 1, 2, ... n$ .

• El número de paseos cerrados desde un extremo del grafo del camino en $4$ vértices a sí mismo de longitud $2n$ es el número de Fibonacci $F_{2n}$ .

La primera se puede demostrar por cálculo directo (aunque también se sale de la teoría de grupos cuánticos) y la segunda es un bonito argumento combinatorio que dejaré como ejercicio. Discutiré algunas de las cuestiones que rodean a este tema en esta entrada del blog .

Answer 4

Tenga en cuenta que $$2\cdot \dfrac{2\pi}{5} + 3\cdot \dfrac{2\pi}{5} = 2\pi,$$ por lo tanto $$\cos\left(2\cdot \dfrac{2\pi}{5}\right) = \cos\left(3\cdot \dfrac{2\pi}{5}\right).$$ Poner $\cos \dfrac{2\pi}{5} = x$ . Utilizando las fórmulas $$\begin{equation*} \cos 2x = 2\cos^2 x - 1, \quad \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x, \end{equation*}$$ tenemos $$\begin{equation*} 4x^3 - 2x^2 -3x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(4x^2 + 2x - 1) = 0. \end{equation*}$$ Porque $\cos \dfrac{2\pi}{5} \neq 1$ obtenemos $$\begin{equation*} 4x^2 + 2x - 1 = 0. \end{equation*}$$ De otra manera, $\cos \dfrac{2\pi}{5} > 0$ entonces $\cos \dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{4}$ .

Answer 5

Busca la "construcción de un pentágono regular" utilizando la regla y el compás. Si sigues cada paso de esta construcción, verás que el ángulo $72^\circ$ aparece en algunos lugares, y esta expresión se desprende de ella.

Es un ejercicio divertido deberías hacerlo.