Me gustaría encontrar el apotema de un pentágono regular. Se deduce de
$$\cos \dfrac{2\pi }{5}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}.$$
¿Pero cómo se puede demostrar esto (geométrica o trigonométricamente)?
Una pequeña corrección @MFV: $z^5-1=(z-1)(1+z+z^2+z^3+z^4)$ . Aquí, las relaciones con Vieta se hacen aún más evidentes.
Considere una $\triangle ABC$ con $AB=1$ , $\mathrm{m}\angle A=\frac{\pi}{5}$ y $\mathrm{m}\angle B=\mathrm{m}\angle C=\frac{2\pi}{5}$ , y señalar $D$ en $\overline{AC}$ tal que $\overline{BD}$ biseca $\angle ABC$ . Ahora, $\mathrm{m}\angle CBD=\frac{\pi}{5}$ y $\mathrm{m}\angle BDC=\frac{2\pi}{5}$ Así que $\triangle ABC\sim\triangle BCD$ . También hay que tener en cuenta que $\triangle ABD$ es isósceles para que $BC=BD=AD$ .
Dejemos que $x=BC=BD=AD$ . De los triángulos similares, $\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD}$ ou $\frac{1}{x}=\frac{x}{1-x}$ Así que $1-x=x^2$ y $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ (la otra solución es negativa y las longitudes no pueden ser negativas).
Ahora, aplica la Ley de los Cosenos a $\triangle ABC$ : $$\begin{align} \cos\frac{2\pi}{5}=\cos C&=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\\\ &=\frac{\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2+1^2-1^2}{2\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot 1} \\\\ &=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \\\\ &=\frac{\sqrt{5}-1}{4}. \end{align}$$
@MFV: Dado el contexto de tu pregunta, parecía que querías una prueba más orientada a la geometría. En mi cabeza, el triángulo que utilicé es el triángulo-equivalente del rectángulo áureo. Además, si dibujas un pentágono regular y todas sus diagonales, verás el diagrama que dibujé como una pequeña parte de la imagen (AB es un lado, C y D están dentro del pentágono en las intersecciones de las diagonales).
¿Qué tal si combinatoriamente ? Esto se deduce de los dos hechos siguientes.
Los valores propios del matriz de adyacencia de la gráfico de ruta en $n$ los vértices son $2 \cos \frac{k \pi}{n+1}, k = 1, 2, ... n$ .
El número de paseos cerrados desde un extremo del grafo del camino en $4$ vértices a sí mismo de longitud $2n$ es el número de Fibonacci $F_{2n}$ .
La primera se puede demostrar por cálculo directo (aunque también se sale de la teoría de grupos cuánticos) y la segunda es un bonito argumento combinatorio que dejaré como ejercicio. Discutiré algunas de las cuestiones que rodean a este tema en esta entrada del blog .
Tenga en cuenta que $$2\cdot \dfrac{2\pi}{5} + 3\cdot \dfrac{2\pi}{5} = 2\pi,$$ por lo tanto $$\cos\left(2\cdot \dfrac{2\pi}{5}\right) = \cos\left(3\cdot \dfrac{2\pi}{5}\right).$$ Poner $\cos \dfrac{2\pi}{5} = x$ . Utilizando las fórmulas \begin{equation*} \cos 2x = 2\cos^2 x - 1, \quad \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x, \end{equation*} tenemos \begin{equation*} 4x^3 - 2x^2 -3x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(4x^2 + 2x - 1) = 0. \end{equation*} Porque $\cos \dfrac{2\pi}{5} \neq 1$ obtenemos \begin{equation*} 4x^2 + 2x - 1 = 0. \end{equation*} De otra manera, $\cos \dfrac{2\pi}{5} > 0$ entonces $\cos \dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{4}$ .
@MFV: cut-the-knot.org/pythagoras/cos36.shtml podría darte algo de ayuda si te quedas atascado. Pero estoy de acuerdo con la sugerencia de que lo resuelvas tú mismo; eso es mucho más interesante que tratar de descifrar la descripción "AB=AE=PQ=etc" de otra persona.
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