Las secuencias de $x_n$ $y_n$ converge

Question

Deje $\quad2{x}_{n+1}=1+{y}^{2}_{n}，\quad 2{y}_{n+1}=2{x}_{n}-{x}^2_{n},\quad n\in\mathbb{N};\quad 0\leq {y}_{0}\leq \frac{1}{2}\leq {x}_{0}\leq 2.$

Demostrar que las secuencias $ \begin{Bmatrix} {x}_{n}\end{Bmatrix},\begin{Bmatrix} {y}_{n}\end{Bmatrix} $ converges in $\mathbb{R}.$

Tenga en cuenta que:

Por supuesto, no debe haber más de una manera de resolver esto,pero quiero usar el Límite superior y el límite inferior de las secuencias de $ \{{x}_{n}\}$ $\{y_n\}$ para obtener la conclusión. Alguien me puede ayudar a resolver esta cuestión en mi forma de pensar?

Answer 1

Empezar con $0\leq {y}_{0}\leq \frac{1}{2}\leq {x}_{0}\leq 2$ y ${x}_{n+1}=1+{y}^{2}_{n}，2{y}_{n+1}=2{x}_{n}-{x}^2_{n}$.

$2y_{n+1}-1 =2{x}_{n}-{x}^2_{n}-1 =-(x_n-1)^2 $ y $x_{n+1}-1 =y_n^2 $.

Por lo tanto $2y_{n+1}-1 =-y_{n-1}^4 $ o $y_{n+1} =\dfrac{1-y_{n-1}^4}{2} $

Tenga en cuenta que $-1 \le 2y_1-1 \le 0$ o $0 \le y_1 \le \frac12$.

$x_1 = 1+y_0^2$, así $1 \le x_1 \le \frac54$ y $0 \ge 2y_2-1 \ge -\frac1{16} $ o $\frac{15}{32} \le y_2 \le \frac12 $.

Si $f(y) =\dfrac{-y^4+1}{2} $ para $0 \le y \le \frac12$, $f'(y) = -2y^3$ así $|f(y)| \le \frac14 $. Por el estándar de punto fijo teorema, la iteración $y_{n+1} = f(y_n)$ converge a la raíz de $f(y) = y$ en $[0, \frac12]$, si la raíz existe. Desde $f(0) > 0$ y $f(\frac12) < \frac12$, $f$ no tienen una raíz para la iteración hace converger.

Por lo tanto, $y_n$ converge a la la raíz de $f(y) = y$ que es en $(0, \frac12)$. Si llamamos a esta $L$, $x_n$ converge a $1+L^2$.