Deje $M$ denotar un conjunto de modelo del tamaño de $\mathrm{ZFC},$ no necesariamente bien fundada. Es cierto que para cualquier $x \in M,$ hay un exterior modelo $O$ $M$ tal que $(O \models x \mbox{ is countable})$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
(Después de la aclaración en los comentarios,) yo soy la interpretación de una capa exterior de modelo de $M$ como un modelo de $M'$ con el mismo ordinales que es una extensión de M. (Final-extensión: Si $M′$ es el exterior del modelo, $y\in M$, e $M′\models x\in y$,$x\in M$.) En ese caso, la respuesta es negativa en general, si por "hay" significa "en $V$".
Por ejemplo: Podemos tener una $\alpha$ tal que $V_\alpha$ es un modelo de $\mathsf{ZFC}$, y un conjunto $x$ que es incontable allí (y, por tanto, en $V$). Si $M'$ piensa que no es un bijection $f$$\omega$$x$, esto nos da un bijection (en $V$) entre $\omega$$x$, simplemente establecimiento $\hat f=\{(n,t)\mid M'\models f(n)=t\}$.
Por supuesto, la respuesta podría ser sí, en algunos casos: podría ser que $M$ es contable, en cuyo caso hay (en $V$) de los modelos que son (isomorfo a) extensiones genéricas de $M$ donde el conjunto en cuestión es contable. O incluso podría ser que $M$ es incontable, pero "fino". Por ejemplo, si $0^\sharp$ existe, entonces hay muchos juegos que son innumerables en $L$ pero contables en $V$.
Si uno de los medios en lugar de si existe un potencial de exterior modelo (en un Boolean valores de la extensión del universo, por ejemplo), entonces sí: Uno puede simplemente pasar a un forzando la extensión de $V'$ $V$ donde (el cierre transitivo de) $M$ es contable, y, a continuación, en $V'$ tenemos modelos de $M'$ que son (isomorfo a) extensiones genéricas de $M$ donde los correspondientes conjuntos están contables.
Permítanme añadir un breve comentario, ya que el resultado parece muy interesante.
Supongamos que $M$ es un modelo transitivo de $\mathsf{ZFC}$. A continuación, para cada $x\in M$ hay un exterior modelo $M'$ donde $x$ es contable iff $\mathsf{ORD}\cap M\le\omega_1$.
(En la declaración anterior, también se permite la posibilidad de que $M$ es una clase adecuada.) En una dirección, supongamos que $\mathsf{ORD}\cap M>\omega_1$. Entonces tenemos que $\omega_1^V\in M$ y no hay exterior modelo donde $\omega_1^V$ es visto contables. Esto es como en el segundo párrafo.
Supongamos ahora que $\mathsf{ORD}\cap M\le \omega_1$. Desde la elección tiene en $M$, para cada $\alpha<\mathsf{ORD}\cap M$ tenemos que $V_\alpha^M$ es en bijection (en $M$, y, por tanto, en $V$) con algunos ordinal de $M$, de modo que cada una de las $V_\alpha^M$ es contable, y así es $\mathcal P(V_\alpha^M)^M$. De ello se desprende que los medicamentos genéricos para cualquier poset $\mathbb P\in M$ existen en $V$ (debido a $\mathbb P\in V_\alpha^M$ algunos $M$, y el número de subconjuntos densos de $\mathbb P$ que pertenecen a $M$ es contable en $V$). En particular, dados cualesquiera $x\in M$, esto es cierto para $\mathbb P=\mathrm{Col}(\omega,x)$, el poset que añade un surjection de $\omega$ a $x$. De ello se sigue que si $G\in V$ $\mathbb P$- genérico más de $M$, $M[G]\models x$ es contable (e $M[G]$ es un exterior modelo de $M$).
El hecho de que la elección tiene en $M$ es esencial aquí. Como se ha explicado aquí, es coherente tener modelos transitivos $M$ $\mathsf{ZF}$ de los contables de la altura, pero innumerables tamaño. Esto implica que para algunos $\alpha<\mathsf{ORD}\cap M$, $V_\alpha^M$ es incontable (en $V$ y por lo tanto también en $M$), y por lo tanto no hay exterior modelo donde pueda ser visto para ser contable.
