Aquí está una hermosa respuesta que Johannes Hahn dio en MathOverflow aquí.
Cada irreductible finito-dimensional representación es $1$-dimensiones (y no son exactamente $n$ de ellos, correspondientes a los vértices) o $n$-dimensiones y pueden ser indexados por los no-cero, los números complejos.
Prueba: Supongamos $V$ ser una representación irreducible, $V=\bigoplus_{i\in\mathbb{Z}/n} V_i$ su nivel de descomposición dada por los vértices y $f_i : V_i\to V_{i+1}$ lineal mapas dado por los bordes. Deje $L:=f_{n-1}\ldots f_1 f_0$ ser el endomorfismo de $V_0$ dada por el circuito cerrado en el carcaj.
Si $V$ es finito-dimensional, entonces no es un autovector $v_0$ $L$ para el autovalor $\lambda$ (podemos suponer que hay vectores propios en todas las asumiendo $V_0\neq 0$ wlog). Definir $v_1:=f_0(v_0), v_2:=f_1(v_1), \ldots, v_{n-1}:=f_{n-2}(v_{n-2})$.
Si $\lambda=0$, $f_i(v_i)=0$ algunos $i$ $\mathbb{C} v_i$ es unidimensional submódulo. Por simplicidad es el conjunto de $V$ y estamos en el primer caso.
Si $\lambda\neq 0$, entonces todos los $v_i$ son cero y $\sum_i \mathbb{C}v_i$ es un submódulo. Por simplicidad, es de todos $V$, $\{v_i\}$ es una base y uno puede escribir todas las matrices de el borde w de elementos.r.t. esta base. Por lo tanto, este es un completo conjunto de pares no isomorfos irreducibles.
En realidad debería ser posible describir todos finito-dimensional módulos en términos de una forma normal de Jordan de a $L$. De manera más abstracta debe ser algo cercano a una Morita equivalencia entre el carcaj de álgebra $\mathbb{C}Q$ $e_0 \mathbb{C}Q e_0$ que es el polinomio anillo de $\mathbb{C}[L]$. Tenga en cuenta que la irreductible finito-dimensional representaciones de $\mathbb{C}[L]$ son parametrizadas por números complejos. Parece ser algún tipo de geometría de aquí al acecho en el fondo, donde $Irr(\mathbb{C}[L])$ es sólo el afín a la línea y $Irr(\mathbb{C}Q)$ es afín a la línea de con $n$-pliegue de origen. Tal vez algunos algebraicas aparejador puede arrojar algo de luz sobre esta observación.
