¿Por qué el límite de un cubo en $\mathbb{R}^n$ tienen medida cero?

Question

Estoy tratando de desarrollar el hecho de que la medida de la caja es igual al volumen de una caja para cualquier medida $m$, es decir, una función de la satisfacción de las propiedades estándar de monotonía, de positividad, contables sub-aditividad, la traducción de la invariancia, etc.

Estoy tratando de mostrar que los conjuntos de $(1,\frac{1}{q})^n$ $[1,\frac{1}{q}]^n$ $\mathbb{R}^n$ ambos tienen medida $\frac{1}{q^n}$ $q>1$ un entero. En primer lugar, por la traducción de cada coordenada por $k/q$ donde $0\leq k\leq q-1$, uno ve que $q^n$ discontinuo se traduce de $(0,1/q)^n$ están contenidas en $[0,1]^n$. Pero la normalización, la monotonía, y la traducción de la invariancia, se sigue que $$ p^n m((0,1/p)^n)\leq 1$$ por lo $m((0,1/q)^n)\leq q^{-n}$. Del mismo modo, el $q^n$ se traduce de $[0,1/q]^n$ cubierta $[0,1]^n$, lo $q^nm([0,1/q]^n)\geq 1$, lo que implica $m([0,1/q]^n)\geq q^{-n}$.

Para finalizar, me gustaría mostrar que $m([0,1/q]^n\setminus(0,1/q)^n)=0$. Así que, dado que $\epsilon>0$, estoy tratando de cubrir el límite del cubo por una familia de cuadros cuya medida es menor que $\epsilon$. Pero sin saber en este punto lo que la medida de un cuadro, dado que la medida no es necesariamente el Lesbegue medida, estoy atascado. ¿Cómo puedo mostrar la medida de los límites del cubo es $0$? Gracias.

Los axiomas para $m$ son como sigue: $\mathbb{R}^n$ es un espacio Euclidiano.

• Cada abiertas y cerradas conjunto es medible.
• El complemento de cada medibles conjunto es medible.
• Finito/contables de uniones e intersecciones de conjuntos medibles medibles.
• $m(\emptyset)=0$.
• $0\leq m(A)\leq\infty$ por cada conjunto medible.
• Si $A\subseteq B$,$m(A)\leq m(B)$.
• Si $(A_j)_{j\in J}$ es una familia de conjuntos medibles, a continuación,$m(\bigcup A_j)\leq\sum m(A_j)$.
• Si $(A_j)_{j\in J}$ es una familia de distintos conjuntos medibles, a continuación,$m(\bigcup A_j)=\sum m(A_j)$.
• $m([0,1]^n)=1$.
• Si $A$ es medible, $m(x+A)=m(A)$ todos los $x\in\mathbb{R}^n$.

Answer 1

Oh, está bien! A partir de los anteriores axiomas, usted puede demostrar que $$m\left((-\epsilon,\epsilon)\times[0,1]^{n-1}\right)\leq2\epsilon,$$ es decir, $(n-1)$dimensiones de las caras pueden ser cubiertos por engrosamientos con arbitrariamente pequeña medida. Esto se desprende de apilado un montón de traduce de una rebanada en el interior de $[0,1]^n$, lo que ha conocido la medida. Es el mismo argumento que usted ya está usando para cubos, excepto que se centra en una dimensión a un tiempo, en lugar de reducción de todos los $n$ dimensiones a la vez.

Answer 2

Supongo que el sigma-álgebra que está trabajando es el habitual (Borel). A continuación, la traducción de la invariancia de la propiedad de su medida implica que la medida de Haar en la Mentira de grupo $R^n$, que es por lo tanto único a escala, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Haar_measure. Por lo tanto, su medida es un escalar múltiples de la medida de Lebesgue.