¿Relación entre las series de Fourier y los espacios de Hilbert?

Question

Acabo de leer en un libro de texto que un espacio de Hilbert puede definirse o representarse mediante una serie de Fourier adecuada. ¿Cómo puede ser eso? ¿Es porque una serie de Fourier es una serie infinita que "cubre" adecuadamente un espacio de Hilbert?

Aparte de esto, a mí (un novato en matemáticas) me cuesta ver la conexión entre un espacio de Hilbert, una construcción vectorial y una serie de Fourier (de funciones trigonométricas).

Answer 1

El espacio de los periódicos $L^2$ funciones (digamos con el período $2\pi$ ) forma un espacio de Hilbert. (Aquí $L^2$ significa que $\int_0^{2\pi} f(x)^2 dx$ existe).

El producto interior de dos funciones viene dado por $\int_0^{2\pi} f(x)g(x) dx$ . (Aquí y arriba estoy pensando en funciones de valor real; para funciones de valor complejo las fórmulas son similares).

Ahora consideramos dos hechos, uno sobre $L^2$ -y una sobre el espacio de Hilbert

• Cada $L^2$ -puede expandirse como una serie de Fourier.

• Todo espacio de Hilbert admite una base ortonormal, y cada vector del espacio de Hilbert puede expandirse como una serie en términos de esta base ortonormal.

Resulta que el primero de estos hechos es un caso especial del segundo: podemos interpretar las funciones trigonométricas como una base ortonormal del espacio de $L^2$ -y la expansión de Fourier de una función arbitraria $L^2$ -función es lo mismo que su expansión teórica del espacio de Hilbert en términos de la base ortonormal.

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Resumen/imagen general: Para ver cómo un "constructo vectorial" como el espacio de Hilbert se relaciona con las series de Fourier, no se considera una sola función de forma aislada, sino que se considera todo el espacio vectorial de $L^2$ -que, de hecho, es un espacio de Hilbert.

Answer 2

Para definir la serie de Fourier de una función se necesitan dos cosas:

(i) el dominio de la función debe ser un grupo topológico abeliano compacto $G$

(ii) un producto interno en su espacio de funciones

Si se tiene esto, entonces se puede decir que la serie de Fourier de un $f: G \to \mathbb R$ o $\mathbb C$ es la representación de $f$ en términos de los caracteres de $G$ . Los caracteres de un grupo topológico abeliano compacto son todos homomorfismos continuos $G \to S^1$ . Por eso es necesario que el dominio sea un grupo topológico abeliano compacto.

Entonces se utiliza que los caracteres de $G$ en realidad forman una base para las funciones en $G$ . Pero para ello se necesita una forma de definir la ortogonalidad y aquí es donde entra el producto interior.

Como sucede, si usted toma su espacio de función para ser $L^2 (G)$ con el producto interno habitual (como se indica en la respuesta de Matt E), entonces se obtiene un espacio de Hilbert.