Esto es suficiente para demostrar $\Omega$ es completo y totalmente acotado. Deje $\{x_i\}$ ser una secuencia de Cauchy en $\Omega$. Construir una secuencia $x\in \Omega$ como sigue. Para cada $n\in\mathbb{N}$, hay algunas más pequeño $K_n$ tal que para todo $i$, $j\ge K_n$, tenemos $d(x_i, x_j) < 1/2^n$. Esto implica que para todos los $i, j\ge K_n$, la primera $n$ bits de $x_i$ $x_j$ está de acuerdo. Establecer el $n$th bits de $x$ $n$th poco de $x_{K_n}$, $x_{K_n +1}$, $x_{K_n+2}$, etc. Ahora, tenga en cuenta que si $i > K_n$,$n(x_i, x) \ge n$$K_{n} \ge K_{n-1} \ge K_{n-2} \ge \cdots \ge K_1$. Así, por $i > K_n$, podemos ver que $d(x_i, x) < 1/2^n$. El envío de $n\to\infty$ muestra $x_i \to x$. Por lo tanto $\Omega$ es completa.
Ahora debemos mostrar $\Omega$ es totalmente acotado. Deje $\epsilon > 0$, y elija $n$ tal que $1/2^{n+1} < \epsilon \le 1/2^n$. Supongamos $\{a_1, a_2, \cdots, a_{2^n}\}$ es una enumeración de las $2^n$ finito secuencias binarias de longitud $n$. Anexar una infinidad de ceros (0) al final de cada una de las $a_i$, de modo que puedan ser consideradas como elementos en $\Omega$. Para cada $x\in \Omega$, $n$ bits deben estar de acuerdo con la primera $n$ bits de algunos $a_j$, lo $d(x, a_j) < \epsilon$ algunos $1\le j \le 2^n$. Por lo tanto, $$\Omega \subset N_{\epsilon} (a_1) \cup N_{\epsilon} (a_2) \cup \cdots \cup N_{\epsilon} (a_{2^n}) $$ As $\epsilon$ was arbitrary, it follows $\Omega$ es totalmente acotado.
