Alguien me puede ayudar a evaluar o al menos aproximado de la suma siguiente.

Question

Alguien me puede ayudar a evaluar la siguiente suma. Parecía que al calcular el número de elementos de las intersecciones de algunos juegos: $$\sum_{d|n} \frac{d}{\phi(d)^2}.$$

Answer 1

Desde $\dfrac{n}{\phi(n)^2}$ es una función multiplicativa, sabemos que $$ \varphi(n)=\sum_{d|n}\frac{d}{\phi(d)^2}\etiqueta{1} $$ también es multiplicativo. La potencia de un primo, $p^j$ y $j>0$, $\phi(p^j)=p^j\frac{p-1}{p}$, así $$ \begin{align} \varphi(p^k) &=1+\sum_{j=1}^k\frac{p^2}{p^j(p-1)^2}\\ &=1+\frac{p}{(p-1)^2}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{p^j}\\ &=1+\frac{p^k-1}{p^{k-2}(p-1)^3}\tag{2} \end{align} $$ Así, por $n$ cuya descomposición en factores primos es $$ n=\prod_jp_j^{k_j}\etiqueta{3} $$ tenemos $$ \varphi(n)=\prod_j\left(1+\frac{p_j^{k_j}-1}{p_j^{k_j-2}(p_j-1)^3}\right)\etiqueta{4} $$ Estimación:

Tenga en cuenta que para $k>0$, $$ 1+\frac1p\left(\frac{p}{p-1}\right)^2\le1+\frac{p^k-1}{p^{k-2}(p-1)^3}\lt1+\frac1p\left(\frac{p}{p-1}\right)^3\tag{5} $$ Para el mayor de los números primos, $(5)$ podría ayudar a aproximar el término en $(4)$.