Dos definiciones de integración de Lebesgue

Question

Normalmente, la integral de Lebesgue, para la adopción de medidas positivas, se define de la siguiente manera. En primer lugar, se define la integral de funciones de los indicadores, y linealmente extender a funciones simples. Entonces, para un general no negativo de la función $f$ , se define como el supremum de la integral de todas las funciones simples, menos de o igual a $f$.

Sin embargo, encontrar otra definición en el libro de Lieb y la Pérdida, el "Análisis". Deje que $f$ ser no negativo medibles en función de una medida de espacio $X$, deje que $\mu$ la medida, y definir por $t >0$, $$S_f(t) = \{x \in X : f(x) >t\},$$ y $$F_f(t) = \mu(S_f(t)) .$$

Tenga en cuenta que $F_f(t)$ es ahora una de Riemann integrable función. Ahora, la integral de Lebesgue se define como:

$$ \int_X f \, d\mu = \int_0^\infty F_f(t) \, dt,$$

donde la integral en el lado derecho es la integral de Riemann.

Aquí es la búsqueda de libros de google enlace a la definición.

El libro da una heurística razón por la que esta definición está de acuerdo con la definición habitual describe en el primer párrafo. Ahora me gustaría tener una rigurosa prueba de la equivalencia.

Answer 1

Voy a parafrasear la segmentación argumento dado en Fremlin de la teoría de la Medida, Volumen 2, 252O, página 220. Ya no voy a base de una teoría de la integración en esta fórmula, creo que es legítimo apelar a (muy) básicos de la teoría de Lebesgue (no Fubini, sólo la monotonía de convergencia) para demostrar el deseo de identidad. Yo se lo dejo a usted para lidiar con la necesaria pero fácil modificaciones si permite extendido valor real de las funciones o parcialmente las funciones definidas por:

Vamos $(X,\Sigma\mu)$ ser una medida de espacio y dejar que $f\colon X \a [0,\infty)$ ser una función medible. Luego de la habitual integral de Lebesgue $\int_X f\,d\mu$ de $f$ más de $(X,\Sigma\mu)$ tenemos la identidad $$ \int_X f\,d\mu = \int_{0}^\infty \mu\{x\X\,:\,f(x) \gt t\}\,dt $$ donde la segunda integral es una integral de Lebesgue de un no-creciente y no negativo de la función, de ahí que el integrando es continuo hasta una contables subconjunto de $[0,\infty)$, y por lo tanto su Riemann integral existe en el sentido amplio y la de Riemann y Lebesgue integrales coinciden.

Para probar esto, $E^{n}_k = \left\{x \X\,:\,f(x) \gt \frac{k}{2^{n}}\right\}$ y poner $$ g_n = \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^{4^n} [E_{k}^n] $$ donde $[A]$ denota la función característica de $A$. Tenga en cuenta que tenemos $0 \leq f(x) - g_n(x) \lt 2^{-n}$ siempre $0 \leq f(x) \lt 2^n$, de modo que $g_n(x) \a f(x)$ para todo $x \in X$. También, $g_n(x) \leq g_{n+1}(x)$ para todo $x$, por lo que la secuencia de $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ aumentos $f$ pointwise en todas partes. Por el teorema de convergencia monótona llegamos a la conclusión de que $$\etiqueta{1} \int_X f\,d\mu = \lim\limits_{n\to\infty} \int_X g_n\,d\mu. $$ Además, por cada $t \in [0,\infty)$, tenemos $$ \{x\X\,:\,f(x) \gt t\} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{x \X\,:\,g_n(x) \gt t\}, $$ así, utilizando la notación de la pregunta, tenemos para todos los $t \in [0,\infty)$ que $$ F_f(t) = \mu\{x\X\,:\,f(x) \gt t\} = \lim\limits_{n\to\infty} \mu\{x \X\,:\,g_n(x) \gt t\} = \lim\limits_{n\to\infty} F_{g_n}(t) $$ donde la convergencia es monotono en $n$. De nuevo por el teorema de convergencia monótona tenemos $$\etiqueta{2} \int_{0}^\infty \mu\{x\X\,:\,f(x) \gt t\}\,dt = \lim\limits_{n\to\infty} \int_{0}^\infty \mu\{x \X\,:\,g_n(x) \gt t\}\,dt. $$ Recordando las definiciones de $E_{k}^n$ y $g_n$ vemos que $$ \mu E_{k}^n = \begin{casos} \mu\{x\X\,:\,g_n(x) \gt t\} & \text{si }1 \leq k \leq 4^n \text{ y } \frac{k-1}{2^n} \leq t \lt \frac{k}{2^n} \\ 0, & \text{lo contrario,} \end{casos} $$ así que $$\etiqueta{3} \int_{0}^\infty \mu\{x\X\,:\,g_n(x) \gt t\}\,dt = \sum_{k=1}^{4^n} \frac{1}{2^n}\mu E_{k}^n = \int_{X} g_n\,d\mu. $$ La combinación de $(1)$ y $(2)$ $(3)$ obtenemos la fórmula deseada $$ \int_X f\,d\mu = \int_{0}^\infty \mu\{x\X\,:\,f(x) \gt t\}\,dt. $$