bien separados los puntos en la esfera

Question

Es allí una manera de generar puntos k en una n-esfera, digamos, $x_1,\dots,x_k$ tal que $\min_{ i \neq j } \| x_i - x_j \| $ es tan grande como sea posible? Aproximar las soluciones también están OK, solo me falta bien separados de los puntos sobre una esfera.

Answer 1

He aquí un sci.matemáticas hilo, "poner los puntos sobre una unidad de la esfera?", a partir de julio de 2010, que proporciona algunos enlaces adicionales a la literatura.

Alrededor de la mitad de la rosca señalo los tres regulares polytopes que existen en cada dimensión $N \geq 5$, es decir, la N-simplex (con N+1 vértices), el N-cubo (con $2^N$ vértices), y el doble de la segunda, el N-orthoplex (con 2N vértices). Si el número de puntos k pasa para que coincida con uno de estos, entonces estás de suerte!

Para obtener más general de los números de puntos en una hiper-esfera, me sugirió una solución aproximada que induce en la dimensión. Es decir, el N-1 esfera (sentado en N dimensiones) tiene secciones longitudinales que son N-2 esferas, por ejemplo, la línea del ecuador. Un crudo límite inferior en el número máximo de puntos con una distancia dada (equiv., angular central) separación puede ser obtenida por longitudinalmente la estratificación de la N-1 esfera en estos N-2 esferas adecuadamente lejos, para luego hacer el embalaje en el reducidas dimensiones (usando cuando lo suficientemente bajas dimensiones se llegó a Sloane la biblioteca de la conocida configuraciones).

También se puede obtener igualmente un crudo límite superior en el número de puntos con la separación R dividiendo la "superficie" de la N-1 esfera (sentado en N dimensiones) por la medida de la "esférica tapas" tener la distancia o el ángulo de "radio" R/2.

He aplicado estas ideas a una separación de 30 grados en la 2-esfera, y tiene un límite inferior (constructiva) de 44 puntos y un límite superior de 59 puntos. Sloane la biblioteca ofrece la óptima contar de esta separación como 48. Parece inevitable que a medida que la dimensión aumenta, tales aproximaciones se hacen menos y menos precisa. Aún así, si uno necesita un diseño para un número arbitrario de puntos, que es lo que me gustaría abordar. Si el número de puntos que fueron felizmente cerca de uno de los regulares especiales polytopes, a continuación, me gustaría probar la perturbación de las coordenadas para agregar (o perder) un par de puntos.

Edit: Corregido mi ejemplo a decir la separación de 30 grados, donde originalmente publicado 60 grados.

Answer 2

Sospecho que usted podría obtener resultados razonables, comenzando con k elegidos al azar de puntos y la optimización local (encontrar el par más cercano, y mover uno de ellos a un punto de que es un máximo local de la distancia mínima de todos los otros puntos, a continuación, repita...).