He aquí una prueba directa. Deje $M$ ser un liso $n$-colector y $f$ Morse de la función en $M$. Deje $p_i$ ser de los mínimos locales, $q_j$ ser el índice-$1$ puntos críticos, $f(p_i)<f(q_j)$ todos los $i,j$, e $\gamma_{ij}$ el gradiente de la línea de flujo de$p_i$$q_j$. Conecte cada uno de los $p_i$ $p_0$por un camino directo de $\gamma_{ij}$s. Nota, en particular, el gráfico que hemos definido es contráctiles. Homotope $f$ $q_j$ que no están en las rutas tienen un valor mayor que el $q_j$ que están en el camino, decir (por la escala y la traducción) $f^{-1}(1)$ separa el mayor $q_j$ e las $q_j$ en el camino. Ahora considere el $B = f^{-1}(\infty,1]$. Por construcción, este es diffeomorphic a un $n$-ball. En $B$, reemplace $f$ por la distancia radial de la función (posiblemente homotoped para que coincida a la perfección con $f$$\partial B$). Esta nueva $f$, se $\widetilde{f}$, tiene exactamente un índice de $0$ punto crítico.
Repita el procedimiento para $-\widetilde{f}$ para obtener exactamente un índice de $n$ punto crítico.
Intuitivamente, creo que de un nivel de flujo de la superficie. Se inicia con un montón de puntos, el índice de $0$ puntos críticos, en expansión. A continuación, enviar los zarcillos que se unen en el índice de $1$ puntos críticos. El control de la función de Morse es equivalente a controlar el nivel de flujo de la superficie. Bajamos la velocidad al nivel de las superficies cerca de algunos de los índice de $1$ puntos para que el nivel de las superficies de todos se unen en una esfera gigante. Esta es nuestra motivación; dentro de la esfera, podemos modificar la función para que la esfera se ha ampliado a partir de un único punto, en lugar de muchos puntos.
He aquí otra prueba de uso de handlebody descomposiciones.
Por la dualidad entre Morse teoría y handlebody teoría, "Cada colector admite una función de Morse con exactamente un máximo local, y exactamente un mínimo local" es equivalente a decir que cada colector cerrado admite un handlebody descomposición con exactamente un $0$-manejar y exactamente un $n$-manejar. Para ver esto, tomar una suave handlebody descomposición de $M$ ("suave", de modo que la fijación de los mapas son suaves mapas). Ya que esto se realiza mediante el encolado de las sucesivas asas, podemos centrar nuestra atención en el $0$-asas $M^0$ y el colector obtenidos por encolado $1$-asas, $M^1$.
Desde $M$ está conectado y de que la única manejar con desconectada fijación de las esferas se $1$-asas, $M^1$ está conectado (es decir, el encolado de $1$: se encarga de la mata todos los elementos de a $\pi_0$). Por lo tanto, podemos elegir a un solo $0$-manejar y conectar a cada uno de los otros $0$-manejar por un camino de $1$-asas (posiblemente a través de otras $0$-asas). Esta unión de $0$ - $1$- maneja es homeomórficos a una pelota, por lo que podemos reemplazarlo con un solo $0$asa y respecto al resto de $1$-manijas de adjuntar a la sola $0$-manejar.
Gire el handlebody descomposición boca abajo y repita el procedimiento para obtener una sola $n$-manejar.
Las referencias a mirar en: Milnor del Morse Teoría, Milnor de la "Matanza de papel", Ranicki, el libro de la cirugía.
