Para cualquier cerrado conectado submanifold $N \subset M$ para separar los $M$, basta con que $H^1(M;\Bbb Z/2) = 0$. Para evitar el molesto dificultades asumo $\text{dim } M \geq 2$.
Para elegir un cerrado submanifold $N$. Luego hay un homomorphism $\varphi_N: \pi_1(M) \to \Bbb Z/2$ dado por tomar un bucle y el envío a su mod-2 intersección número de con $N$. Que $N$ separa $M$ es equivalente a este homomorphism ser cero.
En una dirección, si $N$ no separada $M$, elegir un punto en $N$ y dos puntos de $x$ $y$ $M \setminus N$ que localmente se ven en 'los lados opuestos' de $N$ (de modo que no es un camino de uno a otro que pasa a través de $N$ exactamente una vez). A continuación, elegir un camino en el complemento de $N$$x$$y$. Unirse a este con la ruta de acceso en la anterior parenethetical tenemos un bucle que tranvserse a $N$ y pasa a través de él exactamente una vez; por lo que tiene un valor distinto de cero mod-2 intersección número de con $N$. Por lo $\varphi_N$ es distinto de cero.
Por el contrario supongamos $\varphi_N$ es distinto de cero. Supongamos $M$ fue desconectado por $N$. Los puntos de recogida $x, y$ en los dos componentes diferentes. Ahora escoge una inmerso bucle con un valor distinto de cero intersección número de con $N$. Modificarlo para que se pasa una vez cada una a través de $x$$y$, y lo que es inmersos y, por supuesto, de forma transversal a $N$. Entonces, al seguir el camino de $x$ $y$la intersección número aumenta precisamente cuando pasamos entre los componentes. Así que de $x$ $y$y luego de vuelta a $x$ debemos cruzar $N$ un número par de veces! Esta es una contradicción a nuestra selección de ruta. Por lo $M \setminus N$ está conectado.
Por lo $H^1(M;\Bbb Z/2) = 0$ (o, equivalentemente, por la dualidad de Poincaré $H_{n-1}(M;\Bbb Z/2) = 0$) es suficiente para saber que todo cerrado conectado submanifold desconecta $M$. Espero que estén de acuerdo que este es un muy débil condición, mucho más débil de lo $\pi_1(M) = 0$. Es cierto, por ejemplo, de cada lente espacio de $L(2p+1,q)$ (o como ustedes dicen si $H_1(M;\Bbb Z) = 0$). Pero incluso si usted no tiene esto, todavía es suficiente para comprobar si es o no $\varphi_N = 0$.
Sospecho que hay un colector $M$ $H^1(M;\Bbb Z/2)$ distinto de cero, pero de tal manera que cualquier cerrado conectado submanifold todavía separa a $M$. No tengo un ejemplo, aunque.
Edit: como se ha señalado por Daniel Valenzuela en los comentarios, si uno tiene un trivial cohomology de la clase $\xi \in H^1(M;\Bbb Z/2)$, lo consideran como una verdadera línea de paquete de más de $M$, y tomar un genérico sección de $\xi$ (en el sentido de que se intersecta con el cero de la sección transversal). Deje $N$ será el ajuste a cero de esta genérica de la sección, y $\iota$ su inclusión mapa; luego, uno puede comprobar que la normal en paquete de $N$$\iota^* \xi$. Esto implica inmediatamente que el complemento de $N$ está conectado, y por lo tanto hemos construido un no-separación de colector. (Alternativamente, se puede demostrar que $\varphi_N$ es el mismo homomorphism como $\xi$; el mismo truco.) Tenga en cuenta que $N$ puede no estar conectado, pero sólo restringir a uno de sus componentes conectados y uno ha conectado la separación de submanifold.
Por lo $H^1(M;\Bbb Z/2) = 0$ es equivalente a la separación teorema: que cualquier cerrada submanifold de $M$ separa $M$ en dos componentes.
(Como lo que puedo decir que todo debe estar perfectamente válida para $M$ noncompact y $N$ cerrado (en el punto establecido sentido, no en el pacto sin límite de sentido) submanifolds.)
