¿Por qué la palabra clave "distinta" a cambio de la solución a tanto?

Question

No entiendo por qué la segunda respuesta es diferente de la primera. No son exactamente la misma cosa?

De cuántas maneras podemos distribuir 10 distintas bolas en 5 cajas distintas? $5^{10}$ es correcto

De cuántas maneras podemos distribuir 10 bolas iguales en 5 cajas distintas? $\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}= 1001$

¿Por qué la segunda pregunta, la solución no $5^{10}$?

Answer 1

Supongamos que usted tiene una bolsa de 100 dulces. Si todos son iguales, entonces los dulces que usted come se mide sólo por la cantidad: 1 caramelo, 2, dulces, etc.

Si los dulces son todos diferentes, entonces usted puede comer dulces #1 y dulces #2, o dulces #1 y dulces #7. En ambos casos se comió 2 caramelos, pero el número de posibilidades de que explote una vez que le das a cada uno de caramelos de su propio nombre.

Answer 2

Física bolas nunca puede ser perfectamente idénticos, por lo que la palabra "idénticos" debe ser tomado como una abreviatura de "no Nos importa que la pelota termina en que el cuadro sólo cuántas bolas final en cada cuadro."

Veamos un pequeño ejemplo: 3 bolas, $A,$ $B,$ y $C,$ $2$ cajas, $1,$ $2.$ Si tenemos cuidado de que la bola va en que casilla de la $2^3=8$ configuraciones, $C_j,$ $$ \begin{aligned} C_1&1:\{A,B,C\},&& 2:\{\}&&\leftrightarrow\quad111\\ C_2&1:\{A,B\},&& 2:\{C\}&&\leftrightarrow\quad112\\ C_3&1:\{A,C\},&& 2:\{B\}&&\leftrightarrow\quad121\\ C_4&1:\{A\},&& 2:\{B,C\}&&\leftrightarrow\quad122\\ C_5&1:\{B,C\},&& 2:\{A\}&&\leftrightarrow\quad211\\ C_6&1:\{B\},&& 2:\{A,C\}&&\leftrightarrow\quad212\\ C_7&1:\{C\},&& 2:\{A,B\}&&\leftrightarrow\quad221\\ C_8&1:\{\},&& 2:\{A,B,C\}&&\leftrightarrow\quad222.\\ \end{aligned} $$ La última columna muestra el porqué $2^3$ es el número correcto: cada uno de $A,$ $B,$ y $C$ debe ser asignado a la caja de $1$ o a la caja de $2.$ Cada asignación corresponde a una cadena de $1$s y $2$s.

Si no nos importa que la bola va en cada caja, entonces el $\binom{3+2-1}{3}=4$ configuraciones, $D_j,$ $$ \begin{aligned} D_1&1:\text{3 balls},&& 2:\text{0 balls}&&\leftrightarrow\quad***\mid&&\leftrightarrow\quad C_1\\ D_2&1:\text{2 balls},&& 2:\text{1 ball}&&\leftrightarrow\quad**\mid*&&\leftrightarrow\quad C_2,C_3,C_5\\ D_3&1:\text{1 ball},&& 2:\text{2 balls}&&\leftrightarrow\quad*\mid**&&\leftrightarrow\quad C_4,C_6,C_7\\ D_4&1:\text{0 balls},&& 2:\text{3 balls}&&\leftrightarrow\quad\mid***&&\leftrightarrow\quad C_8.\\ \end{aligned} $$ La última columna muestra que algunas de las configuraciones anteriores son ahora considerados "de la misma." La segunda hasta la última columna muestra un "estrellas y barras" o "bolas en los contenedores" la representación de cada configuración. Tenga en cuenta que, por ejemplo, $D_2$ corresponde a las tres configuraciones $C_2,$ $C_3,$ $C_5$ porque hay $\frac{3!}{2!\,1!}=3$ asignaciones de cajas de bolas $A,$ $B,$ $C$ que contienen dos $1$s y un $2.$ En general, el número de $C_j$ que un determinado $D_i$ corresponde a está dada por un coeficiente multinomial. Usted puede utilizar el multinomial teorema para ver exactamente cómo la correspondencia de las obras.

Answer 3

Usted puede pensar acerca de esto con los colores:

Para la primera pregunta tiene 10 bolas, cada una de un color diferente, por lo que cada solución será diferente. Pero para el segundo de ellos son del mismo color, por lo que algunas de las soluciones será la misma.