Valores propios del producto de una matriz y una matriz diagonal

Question

Mi situación es la siguiente: Tengo una matriz semidefinida positiva simétrica L (la matriz laplaciana de un grafo) y una matriz diagonal S con entradas positivas $s_i$ .

Hay mucha literatura sobre el espectro de $L$ y estoy más interesado en los límites del segundo valor propio más bajo, $\lambda_2$ .

Ahora la cosa es que no estoy usando el Laplaciano $L$ sino el Laplaciano "generalizado $L S^{-1}$ . Todavía necesito resultados sobre su segundo valor propio más bajo $\lambda_2$ (nótese que el menor valor propio del laplaciano, tanto el normal como el generalizado, es 0).

Mi pregunta es: ¿Existen algunos teoremas/lemas fácilmente disponibles que me permitan relacionar los espectros de $L$ y $L S^{-1}$ ?

EDIT: Por supuesto, $LS^{-1}$ ya no es una matriz simétrica, por lo que me refiero a sus vectores propios derechos. Los valores propios de $LS^{-1}$ son los mismos que los de $S^{-1/2} L S^{-1/2}$ que de nuevo es una matriz semidefinida positiva simétrica, por lo que sé que existe una base propia.

Answer 1

Dejemos que $\mu_i$ sean los valores propios de $L S^{-1}$ . Entonces $(\lambda_i, \mu_i, s_i)$ obedecen a la versión multiplicativa de Desigualdades de Horn . El más básico de ellos, si $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n$ y $s_1^{-1} \geq \cdots \geq s_n^{-1}$ y $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \cdots \geq \mu_n$ es que $$\mu_{i+j-1} \leq \lambda_i s_j^{-1} \ \mbox{and}\ \mu_{i+j-n} \geq \lambda_i s_j^{-1}.$$

Prueba: Sea $X=\sqrt{L}$ y $T=\sqrt{S^{-1}}$ . Así que el valores singulares de $X$ y $T$ son $\sqrt{\lambda_i}$ y $\sqrt{s_i^{-1}}$ . Entonces $\sqrt{\mu_i}$ son los valores singulares de $XT$ . Por un resultado de Klyachko (Random walks on symmetric spaces and inequalities for matrix spectra, Linear Algebra and its Applications, Volume 319, Issues 1-3, 1 November 2000, Pages 37-59), los valores singulares de un producto obedecen a la versión exponenciada de las desigualdades de Horn.

Answer 2

Si está interesado en el segundo valor propio más pequeño $\lambda_2$ de $L$ entonces esto es sólo el conectividad algebraica de $G$ (es decir $\mu = \mu(G)$ ). También este papel y Pregunta de MO puede ser relevante.