Cómo evaluar
$$\lim_{n \to \infty} \left[ \dfrac{1}{n^2} \sum_{1 \leq i < j \leq n} \tan^{-1} \left ( \dfrac{i}{n} \right) \tan^{-1} \left ( \dfrac{j}{n} \right) \right] ?$$
Cualquier sugerencia sería muy apreciada.
Wow... eso fue genial :-D
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Sólo tenemos que evaluar dos límites mediante un argumento de suma de Riemann: $$ A=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\arctan^2\left(\frac{i}{n}\right) = \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\int_{0}^{1}\arctan^2(x)\,dx = 0,$$ $$ B=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\arctan\left(\frac{i}{n}\right)=\int_{0}^{1}\arctan(x)\,dx = \frac{\pi-\log(4)}{4}$$ para deducirlo: $$ \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{1\leq i<j\leq n}\arctan\left(\frac{i}{n}\right)\arctan\left(\frac{j}{n}\right)=\frac{B^2-A}{2}=\color{red}{\frac{(\pi-2\log 2)^2}{32}}.$$
+1 Respuesta realmente genial. Una pregunta, ¿podrías dar una prueba de cómo transformaste la suma o sólo una referencia?
@OussamaBoussif: es una identidad conocida: $$\sum_{1\leq i<j\leq n}f(i)f(j)=\frac{1}{2}\left[\left(\sum_{i=1}^{n}f(i)\right)^2-\sum_{i=1}^{n}f(i)^2 \right]$$ que sigue por simetría.
