Politopos de Bell con simetrías no triviales

Question

Tome $N$ partes, cada una de las cuales recibe una entrada $s_i \in {1, \dots, m_i}$ y produce una salida $r_i \in {1, \dots, v_i}$ , posiblemente de forma no determinista. Nos interesan las probabilidades condicionales conjuntas de la forma $p(r_1r_2\dots r_N|s_1s_2\dots s_N)$ . El politopo de Bell es el politopo abarcado por las distribuciones de probabilidad de la forma $p(r_1r_2\dots r_N|s_1s_2\dots s_N) = \delta_{r_1, r_{1, s_1}}\dots\delta_{r_N, r_{N, s_N}}$ para todas las opciones posibles de números $r_{i,s_i}$ (en otras palabras, cada entrada $s_i$ produce un resultado $r_{i,s_i}$ ya sea con probabilidad 0 o 1, independientemente de las entradas de otros jugadores).

Todo politopo de Bell tiene una cierta cantidad de simetrías triviales, como la permutación de las partes o el reetiquetado de las entradas o salidas. ¿Es posible dar un politopo de Bell explícito con simetrías no triviales? (por ejemplo, transformaciones del politopo en sí mismo que lleven caras a caras y no sean triviales en el sentido anterior) En otras palabras, me interesa saber si un escenario de Bell específico puede poseer alguna simetría "oculta"

En la literatura, los politopos de Bell suelen caracterizarse por sus caras, dadas por conjuntos de desigualdades (desigualdades de Bell), que, sin embargo, no suelen tener ningún grupo de simetría manifiesto.

Answer 1

Cualquier simetría del politopo local de variables ocultas debe asignar un vértice del politopo a otro vértice (o trivialmente a sí mismo). Esto es cierto en general por convexidad. Por la dualidad entre la representación de los vértices y la representación de las facetas sólo tenemos que considerar los vértices. He modificado la forma de escribir los vértices para obtener $p(r_{1} r_{2} ... r_{N}|s_{1} s_{2} ... s_{N})=\delta^{r_{1}}_{f_{1}(s_{1})}\delta^{r_{2}}_{f_{1}(s_{2})}...\delta^{r_{N}}_{f_{N}(s_{N})}$ donde $f_{j}(s_{j})$ es la imagen de $s_{j}$ bajo una función de sitio único $f_{j}:\mathbb{Z}_{m_{j}}\rightarrow\mathbb{Z}_{v_{j}}$ .

Por lo tanto, una simetría será el mapa del producto de los mapas de un solo sitio $\delta^{r_{1}}_{f_{1}(s_{1})}\delta^{r_{2}}_{f_{1}(s_{2})}...\delta^{r_{N}}_{f_{N}(s_{N})}$ a otros productos de mapas de un solo sitio $\delta^{r_{1}}_{f'_{1}(s_{1})}\delta^{r_{2}}_{f'_{1}(s_{2})}...\delta^{r_{N}}_{f'_{N}(s_{N})}$ con $f_{j}$ no necesariamente igual a $f'_{j}$ . Por supuesto, uno puede reordenar los productos permutando las partes y seguir produciendo un producto de funciones delta. La localidad nos impide permitir funciones delta de la forma $\delta^{r_{j}}_{f_{j'}(s_{j'})}$ con $j\neq j'$ . Por lo tanto, aparte de las permutaciones, las únicas transformaciones de simetría permitidas serán las transformaciones en los mapas $f_{j}(s_{j})\rightarrow f'_{j}(s_{j})$ .

Sólo tenemos que considerar la distribución de probabilidad marginal de cada sitio $p(r_{j}|s_{j})$ que puede escribirse como $m_{j}v_{j}$ vector real de longitud. Los vértices tienen $m_{j}$ elementos no nulos que tienen valor unitario para cada valor de $s_{j}$ . Para conservar estas dos condiciones de las distribuciones de probabilidad de los vértices, las únicas transformaciones permitidas en los vectores reales son una clase restringida de permutaciones de elementos de fila. La clase restringida de permutaciones de elementos de fila se genera de forma natural al reetiquetar un resultado de la medición para cada valor de $s_{j}$ y reetiquetar los valores de $s_{j}$ .

Esto se aplica para el politopo de distribución de probabilidad completo. Sin embargo, para otras formas de correlaciones, como las estadísticas de resultados conjuntos, por ejemplo $p(\sum_{j}^{n}r_{j}|s_{1} s_{2} ... s_{N})$ hay otras formas sutiles de simetría fuera de las clases "triviales". Si quieres que me explaye, puedo hacerlo.

Este es mi primer post en el TP.SE. Lo siento si no es lo suficientemente detallada.

Answer 2

Matty Hoban me señaló un documento (PDF aquí ) de Itamar Pitowsky, de 1991, que examina la geometría de los politopos de correlación y sus simetrías. No he leído el artículo en su totalidad, pero echando un vistazo, en la página 400 (página 6 del artículo real) bajo la declaración de resultados el autor parece decir que la cardinalidad del grupo de simetría es $n! 2^n$ lo que sería consistente con sólo los cambios de bits y permutaciones, y con la existencia de sólo las simetrías triviales que mencionas.